Primzahlen, Zahlentherie, Natürliche Zahlen usw

Question

Hallo zusammen,

hier hätte ich noch eine zweite Frage.

Es sei n > 1 eine Primzahl, so wie a^n - 1 auch. Ich soll zeigen: a = 2.

Meine Idee war es, anzunehmen, das a > 2 ist (a = 1 kann man ignorieren) und dann die Annahme zum Widerspruch zu führen, indem ich zeige das dann der natürliche Term a^n -1 nicht prim ist. Wie mache ich das aber?

Bitte wieder keine Lösung, sondern ein Tipp.

Ich danke Helfenden im voraus.

Liebe Grüsse

Answer 1

a^n - 1 ist auf jeden Fall durch a - 1 teilbar. Schaffst du eine Faktorzerlegung? Probiere es mal für kleine Werte von n.

Für a > 2 hätte man also einen Faktor >= 2 und damit wäre a^n - 1 nicht mehr prim.

Wenn also a^n - 1 prim ist, dann muss a = 2 sein.

Comments

Meinst du mit

a^n -1 = (a-1) (a^(n-1) + … + a+1)

Wenn a > 2 ist, so ist der Faktor a-1 > 1 und auch der andere Faktor ist > 3, wodurch a^n -1 nicht prim sein kann.

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Richtig. Das kannst du nachvollziehen oder?

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Ja, ich danke dir :)

Answer 2

Du bist doch bei der anderen Frage schon auf die geometrische Summe hingewiesen worden. Hier bringt die geometrische Summenformel sofort einen Teiler...

Ich sehe nicht, wo man hier braucht, dass n prim ist.

Das 2^n -1 mit n prim, prim ist, ist mir klar.

Interessant, das ist nämlich falsch. Z.B. n=11.

Comments

Du hast Recht, 2^n - 1 ist nicht immer eine Primzahl. Da steht auch. Es ist für n ∈ {2,3, 5, 7, 13, 17, 19,…} prim. Warum soll dann aber hier insgesamt q = 2 sein?

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Kannst Du mit dem Tipp nichts anfangen? Der ist so deutlich, dass der nächste Hilfeschritt das Hinschreiben der Lösung wäre. Es ist auch nicht q=2.

Es ist für n ∈ {2,3, 5, 7, 13, 17, 19,…} prim.

Auch das ist falsch. Woher hast Du diesen Unsinn? n=23, z.B.

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Das Wort ,,nur‘‘ war falsch. Es sollte heissen, das es für diese n z.B. prim ist.

Die Aufgabe lautet: Ist n > 1 und a^n - 1 eine Primzahl, so ist q = 2. (Hinweis: n muss auch eine Primzahl sein)

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Wo siehst Du ein "nur"?

Die Aufgabe lautet: Ist n > 1 und an - 1 eine Primzahl, so ist q = 2.

So lautet die Aufgabe sicher nicht, weil in der Aussage gar kein q drin vorkommt. Außerdem steht da nichts von n prim. Nur im unnötigen und falschen (wg "muss") Hinweis.

Wo ist jetzt das Problem, außer die Aufgabe richtig abzuschreiben?

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Wer so eine Aufgabe formuliert, nimmt die Mathematik sowieso nicht ernst.

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Die Aufgabe lautete genau so, habe es nur etwas umformuliert. Nur das q war falsch. Da muss a stehen. Die Aufgabe habe ich jetzt gelöst. Danke für deine Zeit!

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Beim umformulieren habe ich es aber inhaltlich nicht geändert sondern nur sprachlich.

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Das sehe ich anders, falscher Hinweis, falsches q, zwischendurch falsche Aussagen, abgesehen von der Rechtschreibung.

Da sind sie wieder, die Ausreden, dass doch alles richtig war, nur eben sprachlich nicht.

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Genau so stand es da:

Ist n > 1 und a^n - 1 eine Primzahl (*), dann ist  a = 2. (Hinweis: n ist auch eine Primzahl wenn (*) gilt)

Habe es jetzt kopiert

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Kopieren wäre von Anfang an am besten gewesen. Durch die unnötige Umformulierung wurde eben auch der Inhalt verändert.