Wir setzen zuerst die Abbildung
φ : |R^3 \ {(0,0,0)} x |R^3 \ {(0,0,0)} —> |R
gegeben durch φ(x,y) := < x, y > / (||x|| ||y||).
Die Winkelabbildung über |R^3 ist dann nämlich definiert als
θ : |R^3 \ {(0,0,0)} x |R^3 \ {(0,0,0)} —> |R
durch die Vorschrift θ(x,y) := arccos(φ(x,y)).
Hier ist arccos : [-1,1] —> |R der Arcuscosinus, also die Umkehrfunktion des Cosinus.
Übrigens steht < ••• > : |R^3 x |R^3 —> |R mit
< (a,b,c), (d,e,f) > := ad + be + cf, für das Skalarprodukt von einem Paar von zwei Vektoren ((a,b,c), (d,e,f)) ∈ |R^3 x |R^3 und die Abbildung ||•|| : |R^3 —> |R gegeben als die Vorschrift ||(a,b,c)|| := sqrt(a^2 + b^2 + c^2), für die euklidische Norm eines Vektors im |R^3. Dabei steht gerade sqrt : U —> |R mit U ⊂ [0, inf) für die Quadratwurzel.
Insbesondere gilt auch bekanntlich die Implikation :
< x,y > = 0 => θ(x,y) = arccos(0) = π/2 ( ≈ 90°).
In deinem Fall musst du also die Werte θ(a,b), θ(b,c) und θ(a,c) ∈ |R berechnen.
Die Vektoren a und b schließen z.B. einen rechten Winkel ein, da gilt < a, b > = 0.
Daraus folgt dann θ(a,b) = π/2 ( ≈ 90°).
