Berechnen Sie alle Winkel des Dreiecks.

Question

Aufgabe:Gegeben sind die Vektoren a = (2,5,3) , b= (1,-1,1) , c= (1,6,2) als die Seiten eines Dreiecks . Berechnen Sie alle Winkel des Dreiecks.

Problem/Ansatz:

Ich möchte den Winkel zwischen den Vektor -a und -b rechnen. Kann man in der Berechnung auch die Formel cos (alpha) =(a * b ) / ( |a| * |b| ) anstatt

cos (alpha) = (-a * -b ) / ( |-a| * |-b| )  verwenden ? Ist die Richtung der Vektoren wichtig bei der Winkelberchnung ?

Ich habe 90 als Ergebnis. Ich bin mir unsicher ob das richtig ist.

Comments

https://www.mathelounge.de/659724/winkel-von-einem-dreieck-ausrechnen-mithilfe-von-3-punkten

---

Deine beiden Formeln liefern identische Ergebnisse.

Die Vektoren a und b stehen tatsächlich aufeinander senkrecht.

Kleines Restrisiko: Sind a, b und c wirklich Vektoren auf den Seiten, oder sind es die Ortsvektoren der Eckpunkte?

---

gelöschter Kommentar.

Answer 1

Damit die Vektoren die Seiten eines Dreiecks beschreiben, müssen sie in einer bestimmten additiven Relation stehen. Hier ist das$$a = b+c$$Damit kannst du eine Planskizze machen:

Dann dürfte jetzt auch klar sein, welche Vektoren du umdrehen musst, um die richtigen Winkel zu berechnen. a und b musst du für den Winkel zwischen diesen beiden offenbar nicht umdrehen.

Comments

Hier die berechneten Winkel zur Kontrolle:

γ = ARCCOS([2, 5, 3]·[1, -1, 1]/(ABS([2, 5, 3])·ABS([1, -1, 1]))) = 90°

β = ARCCOS([2, 5, 3]·[1, 6, 2]/(ABS([2, 5, 3])·ABS([1, 6, 2]))) = 15.69°

α = ARCCOS(-[1, 6, 2]·[1, -1, 1]/(ABS([1, 6, 2])·ABS([1, -1, 1]))) = 74.31°

---

@Mathecoach
Ich nehme an, du hast meinen Kommentar in eine Antwort verwandelt?
Falls ja - vielen Dank.

Answer 2

Bei der Anwendung der Winkelformel solltest du darauf achten, dass die Vektoren beide vom Scheitel des Winkels wegführen. Andernfalls würdest du den zu 180° ergänzten Nebenwinkel erhalten. Änderst du die Richtung beider Vektoren, so erhältst du am Ende denselben Winkel.

Answer 3

Wir setzen zuerst die Abbildung

φ : |R^3 \ {(0,0,0)} x |R^3 \ {(0,0,0)} —> |R

gegeben durch φ(x,y) := < x, y > / (||x|| ||y||).

Die Winkelabbildung über |R^3 ist dann nämlich definiert als

θ : |R^3 \ {(0,0,0)} x |R^3 \ {(0,0,0)} —> |R

durch die Vorschrift θ(x,y) := arccos(φ(x,y)).

Hier ist arccos : [-1,1] —> |R der Arcuscosinus, also die Umkehrfunktion des Cosinus.

Übrigens steht < ••• > : |R^3 x |R^3 —> |R mit

< (a,b,c), (d,e,f) > := ad + be + cf, für das Skalarprodukt von einem Paar von zwei Vektoren ((a,b,c), (d,e,f)) ∈ |R^3 x |R^3 und die Abbildung ||•|| : |R^3 —> |R gegeben als die Vorschrift ||(a,b,c)|| := sqrt(a^2 + b^2 + c^2), für die euklidische Norm eines Vektors im |R^3. Dabei steht gerade sqrt : U —> |R mit U ⊂ [0, inf) für die Quadratwurzel.

Insbesondere gilt auch bekanntlich die Implikation :

< x,y > = 0  => θ(x,y) = arccos(0) = π/2 ( ≈ 90°).

In deinem Fall musst du also die Werte θ(a,b), θ(b,c) und θ(a,c) ∈ |R berechnen.

Die Vektoren a und b schließen z.B. einen rechten Winkel ein, da gilt < a, b > = 0.

Daraus folgt dann θ(a,b) = π/2 ( ≈ 90°).

Comments

Du redest mal wieder mehr um den heißen Brei als auf die konkrete Frage des FS einzugehen. Ist es denn so schwierig, die Frage des FS zu lesen bzw. zu verstehen? In deiner Antwort steht mehr unnötige Verwirrung für den FS als die Antwort seiner gestellten Frage.

---

Wieso, nur weil ich es wissenschaftlicher und ordentlicher mache?

---

Naja, ordentlich sei mal dahingestellt. Übersichtlich ist das ohne Formelsatz jedenfalls nicht.

Und ja, es stiftet für jemanden, der nicht viel von Mathematik versteht und sowieso schon Schwierigkeiten hat (vor allem, was die Notation angeht) nur Verwirrung und ist sicherlich keine so große Hilfe. Von der Tatsache, dass du die gestellte(n) Frage(n) damit auch nur im weitesten Sinne beantwortet werden, mal ganz abgesehen.

---

Ich finde diese Notation zu verstehen ist das Mindeste und dafür muss man kein Mathematik super können.

---

Warum hast Du im Definitionsbereich von \(\theta\) nicht den Nullvektor ausgeschlossen? Warum hast Du die Bedingung (?) φ(x,y)∈[-1,1] aufgeführt?

---

Das kannst du von einem Schüler/Abiturienten (sehr wahrscheinlich) aber nicht verlangen, weil es in der Schule einfach nicht gelehrt wird. Und genau aus dem Grund stiftet deine Antwort mehr Verwirrung als sie tatsächlich hilfreich ist. Von Begriffen, die man in der Schule auch nicht mehr lernt, mal ganz abgesehen.

---

@mathhilf Ich habe davor bereits φ so definiert, sodass ich da bei θ es nicht mehr brauche.

Im Definitionsbereich von θ kann das Paar ((0,0,0), (0,0,0)) schon gar nicht liegen, da dafür  φ((0,0,0), (0,0,0)) ∈ [-1,1] gelten muss, aber φ((0,0,0), (0,0,0)) gibt es ja schon gar nicht mal, da φ entsprechend dieses Problem bereits auschliesst.

——

Zu deiner zweiten Frage: Was verstehst du unter φ(x,y) in [-1,1] nicht?

---

@Apfelmännchen Einerseits hast du natürlich Recht. Jedoch finde ich eben auch, das die Schüler / Studenten es vernünftig lernen sollen.

---

dafür φ((0,0,0), (0,0,0)) ∈ [-1,1] gelten muss, aber φ((0,0,0), (0,0,0)) gibt es ja schon gar nicht mal

Wenn es phi(0,0,0) nicht "gibt", dann kann man damit auch keine Bedingung überprüfen. Ich halte das für eine schlechte und unwissenschaftliche Formulierung.

Außerdem liegt phi(x,y) für Nicht-Null-Vektoren immer im Intervall [-1,1], diese Bedingung ist also überflüssig.

Ich gehe davon aus, dass Du meinen Beitrag als Kosmetik einstufst.

---

Dann verwende erst einmal vernünftigen Formelsatz, denn so kann das sicherlich niemand vernünftig lernen.

---

@mathhilf Nein, du hast Recht. Ich habe da was verwechselt. Ist jetzt korrigiert. Danke!

---

In deinem Fall musst du also die Werte θ(a,b), θ(b,c) und θ(a,c) ∈ |R berechnen.

Mach das doch bitte mal so, wie du es in deiner Antwort vorschlägst:

Dann wäre bei dir \(\theta(b,c) \approx 105.7°\) und dein Dreieck hätte eine Winkelsumme von über 180°.

---

@Txman

Ich hoffe, du wirst kein Lehrer.

---

Daraus folgt dann θ(a,b) = π/2 ( ≈ 90°).

Etwas später dann:

weil ich es wissenschaftlicher und ordentlicher mache?

Wie wissenschaftlich ist es denn, einen Winkel, der im Bogenmaß exakt π/2 beträgt, dann im Gradmaß als rund 90° zu bezeichnen?

Tut mir leid, dass ich diesen Kommentar nochmal schreiben musste. Irgend ein Schlossgespenst hat ihn im Laufe des Tages weggezaubert.

Notiz an mich: Beiträge weiterhin auch lokal abspeichern!

Answer 4

Wir können auch mal die Längen der Seiten berechnen

a = |(2, 5, 3)| = √(2^2 + 5^2 + 3^2) = √38

b = |(1, -1, 1)| = √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √3

c = |(1, 6, 2)| = √(1^2 + 6^2 + 2^2) = √41

Wenn du jetzt siehst, dass

√3^2 + √38^2 = √41^2

gilt, dann kennst du bereits den rechten Winkel und kannst mit Sinus, Kosinus und Tangens auch die restlichen Winkel bestimmen.

Ansonsten kann man den Kosinussatz bemühen und damit die Winkel berechnen.

c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cos(γ)
2·a·b·cos(γ) = a^2 + b^2 - c^2
cos(γ) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)
γ = cos^{-1}((a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b))

Also hier nur noch einsetzen und ausrechnen

γ = cos^{-1}((38 + 3 - 41) / (2·√38·√3)) = 90°

So könntest du auch α und β berechnen:

α = cos^{-1}((b^2 + c^2 - a^2) / (2·b·c)) = 15.69°
β = cos^{-1}((a^2 + c^2 - b^2) / (2·a·c)) = 74.31°