Wie erstelle ich die folgende Matrix X?

Question

Ich habe folgende Aufgabe:

\( \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 12 \end{pmatrix} \) × \( \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} \) = 0 

Wie löse ich die fehlende Matrix X so, dass eine Nullmatrix ensteht? Ich darf nicht einfach für alle Einträge a,b,c,d,e,f 0 eintragen, da die Einträge verschieden sein sollen.

Ansatz:

\( \begin{pmatrix} 2a+4d & 2b+4e & 2c+4f \\ 6a+12d & 6b+12e & 6c+12f \end{pmatrix} \) 

Oder muss ich vielleicht ganz anders vorgehen und gar keine Matrix \( \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} \) aufstellen? Ich muss nur eine 2x3-Matrix erstellen, sodass \( \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 12 \end{pmatrix} \) × X eine Nullmatrix ist (X soll vers. Einträge haben).

Ich kann natürlich auch einfach Zahlen einsetzen, z.B. a=4 d=-2. Somit wäre der Eintrag x_{11 und} x₂₁ schonmal 0 usw. Aber das ist doch dann nicht der allgemeine richtige Weg oder? Vielen Dank!

Answer 1

In der ersten Spalte ergibt sich jeweils a=-2d.

In der zweiten Spalte ergibt sich jeweils b=-2e.

In der dritten Spalte ergibt sich jeweils c=-2f.

Deine gesuchte Matrix ist also

 \( \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} \) =  \( \begin{pmatrix} -2d & -2e & -2f \\ d & e & f \end{pmatrix} \)

Wenn die Einträge tatsächlich alle verschieden sein sollen. muss nur d, e und f verschieden gewählt werden, und natürlich muss auch darauf geachtet werden, dass nicht ein Eintrag der oberen Zeile zufällig mit einem Eintrag der unteren Zeile übereinstimmt.