Nicht autonome Differentialgleichung zurückführen

Question

ich möchte gerne folgende nicht autonome Differentialgleichungen auf autonome Gleichungen zurückführen:

1. f''(t) = -t sin(f'(t))+f(t)

2. f''(t) = -cos(t) f(t)

Ich bin mir nun jedoch nicht sicher, ob meine Vorgangsweisen so richtig sind:

zu 1,

g(t) = \( \begin{pmatrix} g1(t)\\g2(t) \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} f'(t)\\t \end{pmatrix} \)

g'(t) = \( \begin{pmatrix} g1'(t)\\g2'(t) \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} f''(t)\\1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} g2(t) sin(g1(t))+f(t)\\1 \end{pmatrix} \)

zu 2,

g(t) = \( \begin{pmatrix} g1(t)\\g2(t) \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} f'(t)\\t \end{pmatrix} \)

g'(t) = \( \begin{pmatrix} g1'(t)\\g2'(t) \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} f''(t)\\1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} -cos(g2(t))f(t)\\1 \end{pmatrix} \)

Stimmt das so?

Answer 1

Nein, weil es nicht die Form \(g'=F(g)\) hat - was hat das \(f\) auf der rechten Seite zu suchen?

Ein richtiger Ansatz ist der vom Umschreiben 2.Ord. auf 1.Ord. plus angehängtem \(t\), also \(g(t):=\begin{pmatrix} f(t)\\ f'(t)\\ t\end{pmatrix}\). Das ergibt ein autonomes System 1. Ord.

Alternativ: Mit dem Ansatz \(g(t):=\begin{pmatrix} f(t)\\ t\end{pmatrix}\) geht es auch, ergibt ein autonomes System 2.Ord.

Comments

Das heißt nun also, es müsste so lauten:

zu 1,
g(t) = \( \begin{pmatrix} g1(t)\\g2(t)\\g3(t) \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} f(t)\\f'(t)\\t \end{pmatrix} \)

g'(t) = \( \begin{pmatrix} g1'(t)\\g2'(t)\\g3'(t) \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} f'(t)\\f''(t)\\1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} g2(t)\\-g3(t) sin(g2(t))+g1(t)\\1 \end{pmatrix} \)

zu 2 wäre es dann:

g'(t) = \( \begin{pmatrix} g2(t)\\-cos(g3(t))g1(t)\\1 \end{pmatrix} \)

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Zu 1.: richtig.

Zu 2.: nicht richtig. Was ist Dein \(g\) (s.o., Hinweis auf Dgl-system 2.Ord)?

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g(t) = \( \begin{pmatrix} g1(t)\\g2(t)\\g3(t) \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} f(t)\\f'(t)\\t \end{pmatrix} \)

g'(t) = \( \begin{pmatrix} f'(t)\\f''(t)\\1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} g2(t)\\-cos(g3)g1(t)\\1 \end{pmatrix} \)

Mit dem alternativen Ansatz erhalte ich:

g(t) = \( \begin{pmatrix} f(t)\\t \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} g1(t)\\g2(t) \end{pmatrix} \)

g'(t) = \( \begin{pmatrix} g1'(t)\\g2'(t) \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} f'(t)\\1 \end{pmatrix} \)

g''(t) = \( \begin{pmatrix} f''(t)\\0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} -cos(g2(t))g1(t)\\0 \end{pmatrix} \)

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Sorry, Deine erste Version "zu 2 wäre es dann:..." war doch richtig. Ich hatte übersehen, dass Du zu Aufgabe 2. übergegangen warst - und nicht zur zweiten Variante des Ansatzes.

Auch die Variante mit dem alternativen Ansatz stimmt.

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Achso, kein Ding.

Vielen Dank für die Hinweise.