Das bedeutet ja nichts anderes als \frac{10 × 9 × 8 * 7 ...}{0} und eine Zahl geteilt durch Null ist doch verboten …

Question

Warum ergibt: $$ \binom{10}{0} $$= 1

Das bedeutet ja nichts anderes als $$\frac{10 × 9 × 8 * 7 ...}{0} $$und eine Zahl geteilt durch Null ist doch verboten bzw. mathematischer Error?

Comments

(10 über 0) =  10!/(0!*(10-0)!) =  10!/(1*10!) = 10!/10! = 1, mit 0!= 1 (per Definition)

Es gilt allgemein: (n über 0)= 1

Nebenbei:

und (n über 1) = n

(n über 1) = n!/(1!*(n-1)!))  = n!/(n-1)! = n, alle Faktoren bis auf n kürzen sich raus:

(5 über 1) =  5!/(1!*4!) = (5*4*3*2*1)/(4*3*2*1) = 5

Answer 1

Ich ergänze mal noch diese Antwort in der Hoffnung, dass sie zum Verständnis beiträgt, wieso \(\binom n 0 = 1\) ist.

Der Binomialkoeffizient \(\binom nk\) für natürliche Zahlen \(n,k\) (einschließlich Null) kann (u.a.) als die Antwort auf folgende Frage interpretiert werden:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus einer \(n\)-elementigen Menge eine \(k\)-elementige Teilmenge zu wählen?

Jetzt wendest du das auf den Fall \(\binom {10}0\) an. Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus einer 10-elementigen Menge, eine null-elementige Teilmenge - also die leere Menge - auszuwählen? Wohl genau eine, oder?

Answer 2

Im Nenner steht nicht 0, sondern \(10! \cdot 0!\).

Schau in deinen Unterlagen nach, wie 0! definiert ist.

Comments

Ist 0! Eins?

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Kluge Schlussfolgerung.

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@hj2166 Danke, jedoch bringt mich das auch nicht auf die Antwort.

 $$\frac{3628800}{1} $$ ≠ 0

@Apfelmännchen Wir brauchen dich!

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Ich ziehe meinen Kommentar insofern zurück, als dass du wohl nur geraten hast.
Für eine Schlussfolgerung hättest du die im Nenner stehende 10! , auf die a hingewiesen hat, berücksichtigt.

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Lies einfach die Antwort von abakus genau durch. Da steht alles drin.

Answer 3

Im Nenner steht 0! * 10 != 1 * 10! = 10!

Aber warum ist 0! = 1? Es gilt für natürliche Zahlen n.

n! = (n - 1)! * n

und damit

1! = (1 - 1)! * 1
1! = 0! * 1

Die letzte Gleichung kannst du jetzt mal nach 0! auflösen und erhältst das dieses 1 sein müsste.

0! = 1

So verstanden?

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Als Kommentar darauf passt AMs Beitrag  Lies einfach die Antwort von abakus genau durch. Da steht alles drin.