Stochastik :Überprüfung der gelösten Aufgaben zur Binomialverteilung

Question

Aufgabe: Eine Firma produziert Energiesparlampen. Aus langer Erfahrung weiß man, dass 98 % der produzierten Lampen fehlerfrei sind.

a) Aus laufender Produktion wird eine Stichprobe von 100 Lampen getestet.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 98 Lampen fehlerfrei sind?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon höchstens 98 Lampen fehlerfrei sind?

b) bestimme den Erwartungswert für die Anzahl fehlerfreier Lampen bei einer Lieferung von 1000 Lampen.

c) Hier hatte ich bereits Probleme, und eine getrennte Frage dazu gestellt :)

d) Der Anteil p fehlerfreier Lampen soll erhöht werden. Es soll bei einer Stichprobe von 50 Lampen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % keine defekte Lampe dabei sein. Wie groß muss p sein?

e) Ein Elektrogeschäft hat bei der Firma 100 Lampen bestellt. Diese liefert vorsichtshalber 2 zusätzliche Lampen, von denen man weiß, dass sie nicht defekt sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Elektrogeschäft weniger als 100 funktionierende Lampen erhält?

f)Der Verkaufsleiter schlägt vor: "Wir liefern einfach ein paar zusätzliche Lampen und bezahlen eine Entschädigung von 200 €, wenn von der Gesamtlieferung weniger als 100 Lampen in Ordnung sind." jede zusätzlich gelieferte Lampe verursacht Kosten von 8 Euro,. Sind die zu erwartenden Kosten für zusätzliche Lampen und Entschädigungszahlungen bei drei oder vier zusätzlich gelieferten Lampen geringer?

g) Am 1. April des Jahres stellt ein Mitarbeiter die Maschine falsch ein, sodass der Anteil der an diesem tag fehlerhaft produzierten Lampen 10% beträgt. Herr Meier kauft zwei gleich aussehende Pakete mit jeweils 50 Lampen. Eines der Pakete wurde am 1. April produziert, das andere nicht. Es sind 2 Lampen defekt. Berechnen Sue die Wahrscheinlichkeit, dass das Paket aus der Produktion vom 1 April stammt!

Problem/Ansatz:

Habe die Aufgaben alle gelöst ( siehe Fotos im Anhang. Es wäre super nett, wenn ihr mal gucken könntet, ob meine Lösung stimmt,, damit ich weiß , ob ich das Thema richtig verstanden habe. LG, Lukas!

Comments

Was soll denn hier fehlen? Steht alles da und insgesamt eine vernünftige Frage (gibt's ja nicht oft hier). Vielleicht findet sich ja auch ein Antworter, der darauf eingeht.

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Er meldet das immer so, sobald Bilder in der Frage vorhanden sind. Ob das sinnvoll ist oder nicht, wird ignoriert. Finde die Meldung ebenso unnötig.

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Ba' 3 Sampen.\( P C^{\prime} \) daxpen werden extra gevelat \( =1 \)\( x \leq \) brealle dufether lampen

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Ist im Bild klar lesbar. Soll FS das jetzt noch abtippen, weil die Texterkennung es nicht verarbeiten kann?

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Er könnte die Texterkennung als Moderator auch einfach entfernen. Aber dass die Moderatoren hier sinnvolle Dinge tun, erlebt man leider selten.

Answer 1

a) Aus laufender Produktion wird eine Stichprobe von 100 Lampen getestet.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 98 Lampen fehlerfrei sind?

P(X=98) = (100über98)*0,98^98*0,02^2

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon höchstens 98 Lampen fehlerfrei sind?

P(X<=98) = 1- P(X=99) -P(X=100)

b) bestimme den Erwartungswert für die Anzahl fehlerfreier Lampen bei einer Lieferung von 1000 Lampen.

E= 1000*0,98 = 980

d) Der Anteil p fehlerfreier Lampen soll erhöht werden. Es soll bei einer Stichprobe von 50 Lampen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % keine defekte Lampe dabei sein. Wie groß muss p sein?

p^50 >=0,9

e) Ein Elektrogeschäft hat bei der Firma 100 Lampen bestellt. Diese liefert vorsichtshalber 2 zusätzliche Lampen, von denen man weiß, dass sie nicht defekt sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Elektrogeschäft weniger als 100 funktionierende Lampen erhält?

100 von 102 sind nicht defekt

p= 100/102

P(X<100) = 1- P(X=100) -P(X=101) -P(X=102)

f)Der Verkaufsleiter schlägt vor: "Wir liefern einfach ein paar zusätzliche Lampen und bezahlen eine Entschädigung von 200 €, wenn von der Gesamtlieferung weniger als 100 Lampen in Ordnung sind." jede zusätzlich gelieferte Lampe verursacht Kosten von 8 Euro,. Sind die zu erwartenden Kosten für zusätzliche Lampen und Entschädigungszahlungen bei drei oder vier zusätzlich gelieferten Lampen geringer?

P(X<100)* 200 + 3*8 bzw. +4*8

g) Am 1. April des Jahres stellt ein Mitarbeiter die Maschine falsch ein, sodass der Anteil der an diesem tag fehlerhaft produzierten Lampen 10% beträgt. Herr Meier kauft zwei gleich aussehende Pakete mit jeweils 50 Lampen. Eines der Pakete wurde am 1. April produziert, das andere nicht. Es sind 2 Lampen defekt. Berechnen Sue die Wahrscheinlichkeit, dass das Paket aus der Produktion vom 1 April stammt!

1/2* (50über2)*0,1^2*0,9^48 , die WKT, diese Packung zufällig zu erwischen ist 1/2

Comments

Wie hast Du bei e berücksichtigt, dass diex2 zusätzlichen Lampen nicht defekt sind?

Wie berücksichtigst Du bei f, dass 103 bzw. 104 Lampen geliefert werden?

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Hat er gar nicht berücksichtigt, denn e) ist falsch.

g) ist auch falsch, denn gesucht wird hier eine bedingte Wahrscheinlichkeit.

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Danke für deine Hilfe!

Answer 2

Zu e):

Da man weiß, dass 2 Lampen in jedem Fall funktionieren, interessieren wir uns nur noch für die Wahrscheinlichkeit, dass in der übrigen Lieferung aus \(n=100\) Lampen weniger als \(k=98\) Lampen defekt sind. Denn nur dann haben wir insgesamt weniger als 100 funktionierende Lampen. Das \(p=0,02\) für eine defekte Lampe bleibt bestehen.

Zu g):

Gesucht wird die Wahrscheinlichkeit, dass das Paket vom 1. April (\(A\)) stammt unter der Bedingung, dass 2 (\(X=2)\) Lampen defekt sind. Unter Ausnutzung von Bayes also

\(P(A|X=2)=\frac{0,5P_{50;0,1}(X=2)}{0,5P_{50;0,1}(X=2)+0,5P_{50;0,02}(X=2)}\).

Comments

Vielen Dank für die verständliche Erklärung!

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Freut mich, wenn es hilft. Bei g) sieht das vielleicht etwas kryptisch aus, aber wenn man mehrere Werte für \(n\) und \(p\) braucht, nutzt man die Notation \(P_{n;p}\).