Wir lange bräuchte es bei zusammengesetzter Verzinsung bis es sich verdoppelt?

Question

Aufgabe:

Ein Kapital verdoppelt sich bei einfacher Verzinsung (Verzinsung ohne Zinseszins) innerhalb von 20 Jahren. Wir lange bräuchte es bei zusammengesetzter Verzinsung (Verzinsung mit Zinseszins), bis es sich verdoppelt?

Problem/Ansatz:

Ich komm leider überhaupt nicht auf das Ergebnis... Die Lösung wäre 14,2 Jahre

Comments

"zusammengesetzte" Verzinsung scheint eine falsche Übersetzung von compounded interest zu sein.

Answer 1

lineare Verzinsung:

K+K*i*20 = 2K

K(1+20i) = 2K

1+20i = 2

20i = 1

i= 1/20  = 5%

exponentielle V.:

(1+i)^n= 2

1,05^n = 2

n= ln2/ln1,05 = 14,2  Jahre

Answer 2

Ich komm leider überhaupt nicht auf das Ergebnis

Und wie lautet deine Rechnung?

Anhand der einfachen Verzinsung kannst du erst einmal den Zinssatz bestimmen. Eine Verdopplung des Kapitals in 20 Jahren, bedeutet 100 % mehr Kapital in 20 Jahren. Das macht einen Zinssatz von 5 % pro Jahr.

Nun kannst du mit Hilfe der Zinseszinsformel doch leicht berechnen, nach welchem Zeitraum dein Kapital 200 % = 2 beträgt, also löst du die Gleichung

\(2=1,05^n\).

Hierzu verwendest du den Logarithmus.