Laplace inverse mit Partialbruchzerlegung

Question

Aufgabe:

Für die Laplace-Transformation der Faltung zweier Funktionen

\((fg)(t) = \int_0^t f(t - \tau) \cdot g(\tau) \, d\tau \)

gilt

\(\mathcal{L}\{fg\}(s) = \mathcal{L}\{f\}(s) \cdot \mathcal{L}\{g\}(s)\)

Sei nun

\(F(s) = \frac{8}{s} \cdot \frac{1}{(s - 2)^3}.\)

Berechnen Sie die Inverse

\(\mathcal{L}^{-1}\{F\}(t) \)

mithilfe der Faltung. Verifizieren Sie Ihr Ergebnis mit dem herkömmlichen Ansatz der Partialbruchzerlegung.

Problem/Ansatz

Kann mir jemand helfen diese Aufgabe zu lösen? Weil laut Wolfram kommt da als Ergebnis

\(= 2e^{2t} t^{2} - 2e^{2t} + e^{2t} - 1\)

raus

aber ich komme irgendwie nie zu diesem Ergebnis.

Answer 1

Wie sieht denn Deine Rechnung aus? Lade mal Deine Rechnung hoch, vermutlich ist irgendwas beim Integrieren schief gegangen, wenn dein Problem bei dem Teil mit der Faltung ist.

Also, was genau hast Du gemacht und wo genau ist das Problem?

Zur Faltung: Mit integralrechner.de kannst Du Dir auch einen Rechenweg anzeigen lassen.

Ergebnis ist jedenfalls \(\int\limits_0^t s^2e^{2s}\, ds\), was man z.B. mit zweimaligem partiellen Integrieren berechnen kann. Das wäre der Weg über die Faltung.

Wenn Dein Problem mit der PBZ ist: Wie lautet Dein Ansatz? Diesen kannst Du auch selbst mit https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm prüfen.

Comments

Das ist einer meiner Rechenwege.. ich habe mehrere versucht, aber die kamen nie zum selben Ergebnis

Partialbrüche:

\(\frac{8}{s (s - 2)^3} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s - 2} + \frac{C}{(s - 2)^2} + \frac{D}{(s - 2)^3}\)

Multipliziere \( s(s - 2)^3 \):

\(8 = A(s - 2)^3 + Bs(s - 2)^2 + Cs(s - 2) + Ds\)

\( s = 0 \):

\(8 = A(-2)^3 \implies A = -1\)

 \( s = 2 \):

\(8 = D(2) \implies D = 4\)

\( s = 1 \):

\(8 = 1 + B - C + 4 \implies B - C = 3\)

\( s = -1 \)

\(8 = 27 + 9B + 3C - 4 \implies 9B + 3C = -15\)

Gleichungssystem:

\(B - C = 3\)

\(9B + 3C = -15\)

\(B = -\frac{1}{2}, \quad C = -\frac{7}{2}\)

Partialbruchzerlegung:

\(F(s) = \frac{-1}{s} - \frac{1/2}{s - 2} - \frac{7/2}{(s - 2)^2} + \frac{4}{(s - 2)^3}\)

Inverse :

\(\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{-1}{s}\right) = -1\)

\(\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{-\frac{1}{2}}{s - 2}\right) = -\frac{1}{2} e^{2t}\)

\(\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{-\frac{7}{2}}{(s - 2)^2}\right) = -\frac{7}{2} te^{2t}\)

\(\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{4}{(s - 2)^3}\right) = 2 t^2 e^{2t}\)

\(f(t) = -1 - \frac{1}{2} e^{2t} - \frac{7}{2} te^{2t} + 2 t^2 e^{2t}\)

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Dein Vorgehen bei der PBZ ist richtig, allerdings liefert Einsetzen von \(s=-1\): \(8 = 27 - 9B + 3C - 4\), also \(-9B + 3C = -15\), was \(B=1,C=-2\) liefert.

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Ah!!!

Bruh, solche Fehlern übersehe ich anscheinend öfters

Trotzdem vielen Dank!

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Kann passieren. Zum Vergleich des Endergebnisses hilft die o.g. Webseite (da wird das LGS über Koeffizientenvergleich hergeleitet, auch fehlerträchtig, aber das Endergebnis muss ja dasselbe sein).