Gleichung einer Geraden g aufstelllen, wenn Punkte einer Ebene bekannt sind

Question

Hallo zusammen,

kann mir jemand die Ansätze bei folgenden Aufgaben sagen?

Die Ebene E ist festgelegt durch die Punkte A(2|0|0), B(0|3|0) und C(0|0|1).

Eine Ebenengleichung könnte ich mit dem Ansatz E: x=OA+r•AB+s•AC aufstellen

a) Bestimmen Sie die Gleichung einer Geraden g, die in E liegt. Kann ich hier allgemein einen Ansatz als Geradengleichung aufstellen mit beispielsweise Aufpunkt A und Richtungsvektor BC? Oder wie gehe ich hier vor?

b) Bestimmen Sie eine Gleichung einer Geraden h, die parallel zu E ist und nicht in E liegt.

Parallel zu E heißt gleicher Richtungsvektor, deshalb könnte ich zum Beispiel den Richtungsvektor AB nehmen. Doch wie muss ich weiter vorgehen, um den Aufpunkt so zu wählen, dass h nicht in E liegt?

c) Bestimmen Sie die Gleichung einer Geraden i, die E im Punkt D(2|3|-1) orthogonal schneidet. Hier weiß ich leider nur, dass eine Ebene und eine Gerade orthogonal schneiden, wenn die Richtungsvektoren multipliziert werden und 0 herauskommt. Ich habe aber keinen Ansatz dazu. Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?

Comments

mit dem Ansatz E: x=OA+r•AB+s•AC

wenn schon, dann

\( E: \quad \vec{x} = \overrightarrow{OA} + r \cdot \overrightarrow{AB} + s \cdot \overrightarrow{AC} \)

(das schreibt man so:)

Answer 1

a) Bestimmen Sie die Gleichung einer Geraden g, die in E liegt.

Wenn du die Ebenengleichung

E: x = OA + r•AB + s•AC

hast, dann sind zum Beispiel

g1: x = OA + r•AB
g2: x = OA + s•AC

zwei Geraden, die in der Ebene liegen.

Comments

Danke für deine Antwort. Wäre dann bei b) die folgende Gerade möglich:

h: x=(0, 0, 0)^T+r•AB

und c)

Richtungsvektor zum Beispiel (3, 2, 5)^T weil dieser Vektor senkrecht zum Vektor AB steht und D als Aufpunkt?

Also:

i: x=(2, 3, -1)^T+r•(3, 2, 5)^T

Wäre das so richtig?

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b) ist richtig.

c) Hier brauchst du einen Vektor der senkrecht zu AB und senkrecht zu AC ist. Sehr einfach kann man das Kreuzprodukt nehmen, wenn es im Unterricht behandelt wurde.

[-2, 3, 0] ⨯ [-2, 0, 1] = [3, 2, 6]

Also ist die Gerade z.B.

i: x = [2, 3, -1] + r * [3, 2, 6]

Answer 2

Tipp: Deine Ebenengleichung: x=OA+r•AB+s•AC aufstellen ist für ein bestimmtes Paar (r|s) ein Punkt der Ebene. Melde dich im Kommentar, wenn dir der Tipp nicht hilft.

Comments

Ich komme leider mit deinem Kommentar auch nicht weiter

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Schreibe einmal 3 verschiedene Punkte auf, die in der Ebene mit der Gleichung x=OA+r•AB+s•AC liegen (Vektoren für A, B und C einsetzen). Dann sehen wir weiter.

Answer 3

a) Bestimmen Sie die Gleichung einer Geraden g, die in E liegt.

Nimm doch einfach die Gerade AB.

b) Bestimmen Sie eine Gleichung einer Geraden h, die parallel zu E ist und nicht in E liegt.

Suche dir einen Punkt aus, der nicht in E liegt (z.B. (0|0|0)) und nimm ihn als Aufpunkt der Gerade. Verwende als Richtungsvektor den von der Gerade g aus Teilaufgabe a).

zu c) Kennst du schon den Normalenvektor einer Ebene?

Answer 4

Aloha :)

Du brauchst hier eigentlich fast gar nichts zu rechnen. Man sieht sofort, dass für die Koordinaten der 3 Punkte \(A(2|0|0), B(0|3|0), C(0|0|1)\) folgende Bedingung gilt:$$\frac x2+\frac y3+\frac z1=1$$Alle Punkte \((x;y;z)\in E\) der Ebene müssen diese Gleichung erfüllen.

zu a) Halte eine Koordinate konstant, z.B. x=2. Dann reduziert sich die Koordinatengleichung auf \(y=-3z\). Das heißt die Punkte \((2;-3z;z)\) liegen in der Ebene und auf einer Geraden (du hast nur noch 1 frei wählbare Variable). Das kannst du als Geradengleichung schreiben:$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}2\\-3z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+z\cdot\begin{pmatrix}0\\-3\\1\end{pmatrix}$$

zu b) Verschiebe die Ebene von oben parallel in eine andere Ebene \(E'\), indem du auf der rechten Seite eine andere Konstante als \(1\) wählst, z.B. \(0\). Wähle dann wie in Teil a) eine beliebige Gerade \(h\) aus der neuen Ebene \(E'\) aus.

zu c) Die Koordinatengleichung von oben kannst du vektoriell aufschreiben:$$\begin{pmatrix}\frac12\\[1ex]\frac13\\[1ex]1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=1\quad\stackrel{\cdot 6}{\implies}\quad\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=6$$Der Vektor \((3;2;6)^T\) steht senkrecht auf der Ebene, denn alle Ortsvektoren \((x;y;z)^T\), die vom Ursprung zu einem Punkte der Ebene \(E\) führen, haben die gleich lange Projektion auf ihn. Damit hast du einen Richtungsvektor der gesuchten orthogonalen Geraden. Ein Punkt der gesuchten orthogonalen Geraden ist in der Aufgabenstellung angegeben. Damit kannst du nun eine Geradengleichung angeben.

Answer 5

a) Bestimmen Sie die Gleichung einer Geraden g, die in E liegt. Kann ich hier allgemein einen Ansatz als Geradengleichung aufstellen mit beispielsweise Aufpunkt A und Richtungsvektor BC? Oder wie gehe ich hier vor?

Du kannst einen beliebigen Vektor nehmen, der in der Ebene liegt. Der Vektor \(\overrightarrow{BC}\) ist möglich, es geht aber natürlich auch einfacher: Man lasse einfach die zweite Richtung der Ebene weg und erhält dann sofort eine Gerade (mache dir das mal anschaulich klar). Bei solchen Aufgaben geht es um Verständnis und nicht darum, auf möglichst komplizierte Weise eine Gerade anzugeben.

b) Bestimmen Sie eine Gleichung einer Geraden h, die parallel zu E ist und nicht in E liegt.

Parallel zu E heißt gleicher Richtungsvektor, deshalb könnte ich zum Beispiel den Richtungsvektor AB nehmen. Doch wie muss ich weiter vorgehen, um den Aufpunkt so zu wählen, dass h nicht in E liegt?

Dieselbe Argumentation wie in a): du brauchst nur einen Vektor, der in der Ebene liegt, das kann jede beliebige Linearkombination der Spannvektoren sein. Man spricht in einem solchen Fall auch davon, dass dieser Vektor komplanar (in einer Ebene liegend) zu den Spannvektoren ist. Du musst jetzt nur gewährleisten, dass die Gerade nicht in der Ebene liegt. Dazu kannst du den Aufpunkt derart verändern, dass er nicht in der Ebene liegt. Einen solchen Punkt findet man leicht und auch hier macht man es sich möglichst leicht als zufällig irgendwelche Werte zu nehmen.

c) Bestimmen Sie die Gleichung einer Geraden i, die E im Punkt D(2|3|-1) orthogonal schneidet. Hier weiß ich leider nur, dass eine Ebene und eine Gerade orthogonal schneiden, wenn die Richtungsvektoren multipliziert werden und 0 herauskommt. Ich habe aber keinen Ansatz dazu. Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?

Du kennst bereits den Aufpunkt der Geraden, nämlich den angegebenen Schnittpunkt. Ansonsten hilft dir das Wissen, was du hast schon weiter. Der Richtungsvektor der Geraden muss orthogonal zu beiden Spannvektoren der Ebene sein, das heißt, deren Skalarprodukt ergibt jeweils 0. Wenn wir sagen, dass der Richtungsvektor

\(\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}\)

ist, so liefert

\(\vec{v}\cdot \overrightarrow{AB}=0\)

\(\vec{v}\cdot \overrightarrow{AC}=0\)

ein LGS, womit du \(\vec{v}\) bestimmen kannst. Schreibe die Skalarprodukte jeweils einmal aus, dann siehst du es besser. Beachte: es gibt - bis auf Länge und Orientierung - unendlich vieler solcher Vektoren, die das LGS erfüllen.