Aloha :)
Hier geht es darum, eine Funktion \(U(x;y)\) unter einer konstanten Nebenbedingung \(g(x;y)\) zu optimieren:$$U(x;y)=\left(x^{0,3}+y^{0,3}\right)^{\frac{1}{0,3}}\to\text{Max}\quad;\quad g(x;y)=3x+1,5y-380\stackrel!=0$$
Im Formalismus führt man nun den Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) als neue Variable ein und bildet die Lagrange-Funktion:$$L(x;y;\lambda)=U(x;y)-\lambda\cdot g(x;y)$$Dann bildet man alle 3 partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion \(L\) und setzt diese gleich null:$$\frac{\partial L}{\partial x}\stackrel!=0\quad;\quad\frac{\partial L}{\partial y}\stackrel!=0\quad;\quad\frac{\partial L}{\partial\lambda}\stackrel!=0$$
Und genau hierbei wird die ursprüngliche Idee von Lagrange hinter dem mathematischen Formalismus versteckt. Die partielle Ableitung \(\frac{\partial L}{\partial\lambda}=g(x;y)\) liefert uns exakt die konstante Nebenbedingung. Die Berechnung kannst du dir also sparen.
Die beiden anderen partiellen Ableitungen liefern uns:$$\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\partial U}{\partial x}-\lambda\cdot\frac{\partial L}{\partial x}\stackrel!=0\quad\implies\quad\frac{\partial U}{\partial x}=\lambda\cdot\frac{\partial g}{\partial x}$$$$\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{\partial U}{\partial y}-\lambda\cdot\frac{\partial L}{\partial y}\stackrel!=0\quad\implies\quad\frac{\partial U}{\partial y}=\lambda\cdot\frac{\partial g}{\partial y}$$Die beiden rechten Gleichungen können wir mit dem Gradienten zusammenfassen:$$\operatorname{grad}U(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)$$Und das ist genau die Kern-Idee von Lagrange: In einem Extremum muss der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller konstanten Nebenbedingungen sein. Da es hier nur eine konstante Nebenbedingung gibt, haben wir rechts nur einen Gradienten und einen Lagrange-Multiplikator \(\lambda\).
Der Gradient von \(g\) ist einfach zu berechnen, für den Gradienten von \(U\) nutzen wir die Kettenregel:$$\frac{\partial U}{\partial x}=\underbrace{\frac{1}{0,3}\left(x^{0,3}+y^{0,3}\right)^{\frac{1}{0,3}-1}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{0,3x^{0,3-1}}_{\text{innere Abl.}}=\left(x^{0,3}+y^{0,3}\right)^{\frac73}\cdot x^{-0,7}$$
$$\frac{\partial U}{\partial y}=\underbrace{\frac{1}{0,3}\left(x^{0,3}+y^{0,3}\right)^{\frac{1}{0,3}-1}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{0,3y^{0,3-1}}_{\text{innere Abl.}}=\left(x^{0,3}+y^{0,3}\right)^{\frac73}\cdot y^{-0,7}$$
Das heißt in Gradientenschreibweise:$$\left(\begin{array}{c}\left(x^{0,3}+y^{0,3}\right)^{\frac73}\cdot x^{-0,7}\\[1ex]\left(x^{0,3}+y^{0,3}\right)^{\frac73}\cdot y^{-0,7}\end{array}\right)=\lambda\cdot\binom{3}{1,5}$$
Um den Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) zunächst loszuwerden, dividieren wir die Gleichung der ersten Koordinate durch die Gleichung der zweiten Koordinate:$$\frac{\left(x^{0,3}+y^{0,3}\right)^{\frac73}\cdot x^{-0,7}}{\left(x^{0,3}+y^{0,3}\right)^{\frac73}\cdot y^{-0,7}}=\frac{\lambda\cdot3}{\lambda\cdot1,5}\implies\frac{x^{-0,7}}{y^{-0,7}}=2\implies\frac{y^{0,7}}{x^{0,7}}=2\implies\frac yx=2^{\frac{10}{7}}$$Das liefert uns als Lagrange-Forderung:\(\quad\pink{y}=2^{\frac{10}{7}}\cdot x\pink{\approx2,6918\cdot x}\)
Diese Lagrange-Bedingung setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$380=3x+1,5\pink y=3x+1,5\cdot\pink{2,6918\cdot x}=7,0377\cdot x\implies x=53,9949$$$$y=2,6918\cdot x=145,3435$$
Aus einer der Koordinatengleichungen für den Gradienten folgt der Lagrange-Multiplikator:$$3\lambda=\left(x^{0,3}+y^{0,3}\right)^{\frac{1}{0,3}}\cdot x^{-0,7}\implies \lambda=2,4374$$
Und durch Einsetzen von \(x\) und \(y\) in \(U\) erhältst du das Maximum:$$U_{\text{max}}=926,228$$
