Question

Wasservolumen eines Stausees (Steigung und Ableitung):

Das Wasservolumen eines Stausees wird durch gezielten Zu-und Ablauf gesteuert. Es kann für den Monat Mai durch die Funktion V(t)=1/1000(40t-t²), 0<t<30 beschrieben werden (t in Tagen, V(t) in km³).

a) Skizzieren den Sie den Graphen von V.

b) Zu welchem Zeitpunkt hat das Volumen des Stausees ein Maximum erreicht? Wie groß ist die maximale Wassermenge?

c) Wie schnell ändert sich das Volumen am Ende des Prozesses?

d) Wann ändert sich das Volumen am schnellsten?

d) Wie groß ist die mittlere Änderungsrate im beobachteten Zeitraum? Stellen Sie das Ergebnis in der Einheit m³/s dar.

Problem/Ansatz:

Wie berechne ich die Aufgaben? Könntet ihr auch bitte hinschreiben wenn ihr die Aufgaben löst was genau ihr berechnet habt. Wäre für eure Hilfe sehr dankbar.

Comments

a) und b) wirst du wohl noch allein bewältigen, zumal alle Schulen ein elektronisches Werkzeug eingeführt haben.

Answer 1

Bestimme zuerst: V'(t) und V''(t)

b) V'(t) = 0, liefert die Extremstelle tE

tE in V''(t) einsetzen, Max., falls V'' <0,

c) Berechne: V'(30) =

d) Wendepunkt berechnen: V''(t) = 0

e) Berechne: (h(30) -h(0))/(30-0)

Comments

Bei b) und d) fehlt natürlich eine Randwertbetrachtung, da hier jeweils ein globales Extremum gesucht wird. Globale Extrema können aber auch am Rand des betrachteten Intervalls auftreten. Es ist also noch zu prüfen, ob am Rand des Intervalls größere Werte auftreten.

Da der Graph in Teilaufgabe a) skizziert werden muss, reicht hier auch eine entsprechende Argumentation anhand des Graphen aus. Irgendein Kommentar zu den Randwerten sollte man aber definitiv aufschreiben.

Answer 2

a) Skizzieren den Sie den Graphen von V.



b) Zu welchem Zeitpunkt hat das Volumen des Stausees ein Maximum erreicht? Wie groß ist die maximale Wassermenge?

f'(t) = 0.04 - 0.002·t = 0 → t = 20
f(20) = 0.4 km³

c) Wie schnell ändert sich das Volumen am Ende des Prozesses?

f'(30) = -0.02 km³/Tag

d) Wann ändert sich das Volumen am schnellsten?

t = 0
f'(0) = 0.04 km³/Tag

d) Wie groß ist die mittlere Änderungsrate im beobachteten Zeitraum? Stellen Sie das Ergebnis in der Einheit m³/s dar.

(f(30) - f(0))/(30 - 0) = 0.01 km³/Tag ≈ 2778 m³/s