Teilbarkeit durch vollständige Induktion zeigen

Question

Aufgabe:

Teilbarkeit durch vollständige Induktion zeigen:

Ich soll zeigen, dass für 18³ⁿ⁺¹ + 2⁹ⁿ , die Summe durch 19 teilbar ist, für alle n element der Natürlichen Zahlen.

Problem/Ansatz:

Induktionsanfang mit n = 0, und die Induktionsvoraussetzung gehen ziemlich leicht. Der Induktionsschritt ist bisschen schwieriger, da ich das nicht mathematisch aufschreiben kann:

n → n+1

18 ³ⁿ⁺¹ * 18³ + 2⁹ⁿ * 2⁹ soll durch 19 teilbar sind. Es ist ja offensichtlich dass es durch 19 teilbar ist. Eine Summe ist durch 19 teilbar wenn ihre Summanden durch 19 teilbar sind. Da die Summanden eine Zahl sind, bei der eine durch 19 teilbare Zahl mit einem beliebigen Faktor multipliziert wurde, sind die einzelnen Summanden auch durch 19 teilbar.

Ich habe versucht herauszuheben, aber das geht leider auch nicht. Kann mir da wer helfen?

Comments

Muss es Induktion sein? Man kann es nämlich auch direkt zeigen - mit etwas Trickserei.

Man bedenke dabei:

\(18=19-1\) und \(2^9 = 512 = 27\cdot 19 - 1\)

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Solche Aufgaben werden typischerweise im Lehramtsstudiun gestellt und sind daher immer mit vollständiger Induktion zu lösen. Es gibt zahlreiche Varianten bei solchen Aufgaben und eignen sich daher auch gut als Klausuraufgabe.

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@Apfelmännchen

Aaah! Danke. Gut zu wissen.

Answer 1

Da die Summanden eine Zahl sind, bei der eine durch 19 teilbare Zahl mit einem beliebigen Faktor multipliziert wurde, sind die einzelnen Summanden auch durch 19 teilbar.

Die Summenden sind keine Zahl. Die Summanden sind Zahlen. Abgesehen davon ist es nicht notwendig, das noch weiter zu formalisieren (a.k.a "mathematisch aufschreiben"). Lösungen dürfen durchaus in deutscher Sprache formuliert werden.

Problem ist nur, dass die Prämisse nicht stimmt. In dem Summanden 18³ⁿ⁺¹ · 18³ wurde keine durch 19 teilbare Zahl mit einem beliebigen Faktor multipliziert.

Stattdessen solltest du versuchen, den Term \(18^{3n+1}\cdot 18^3 + 2^{9n}\cdot 2^9\) in die Form

        \(a\cdot (18^{3n+1}+ 2^{9n}) + 19\cdot b\)

umzuformen. Dann hast du nämlich eine Summe, in der jeder Summand durch 19 teilbar ist.

Comments

Ich habe das schon versucht aber ich finde nichts.

Und ich weiß von meiner Induktionsvoraussetzung, dass 18³ⁿ⁺¹ und 2⁹ⁿ durch 19 teilbar sind.

Und mit Summanden sind eine Zahl war: jeweils eine Zahl gemeint..

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dass 18³ⁿ⁺¹ und 2⁹ⁿ durch 19 teilbar sind.

Das darfst du nicht in deine Induktionsvoraussetzung aufnehmen.

Lediglich dass 18³ⁿ⁺¹ + 2⁹ⁿ durch 19 teilbar ist, darfst du in deine Induktionsvoraussetzung aufnehmen. Daraus darfst du aber nicht schließen, dass die einzelnen Summanden durch 19 teilbar sind.

Schließlich ist ja zum Beispiel 7+11 durch 3 teilbar obwohl weder 7 noch 11 durch 3 teilbar sind.

Answer 2

Lies folgendes von unten nach oben:

18^3·18^(3·n + 1) + 2^9·2^(9·n) ist durch 19 teilbar
3832·18^(3·n + 1) + 512·2^(9·n) ist durch 19 teilbar
(306·19 + 18)·18^(3·n + 1) + (26*19 + 18)·2^(9·n) ist durch 19 teilbar
18·18^(3·n + 1) + 18·2^(9·n) ist durch 19 teilbar
18·(18^(3·n + 1) + 2^(9·n)) ist durch 19 teilbar
18^(3·n + 1) + 2^(9·n) ist durch 19 teilbar

Comments

danke danke danke!! sehr gute idee

Answer 3

Vielleicht noch folgende technische Variante der bisherigen Überlegungen: Die Induktionsvoraussetzung ist: Für ein n gilt

$$\exists m \in \Z:\quad 18^{3n+1}+2^{9n}=19m$$

Dann folgt:

$$18^{3n+1+3}+2^{9n+9}=18^3(19m-2^{9n})+2^{9n+9}=19\cdot 18^3 \cdot m+2^{9n}(2^9-18^3)$$

Wegen \(2^9-18^3=-5320=-19\cdot 280\) ist dies durch 19 teilbar.