Aufgabe:
1/n^2 - 1/2^n| n ∈ N}. Extremstellen bestimmen.
Problem/Ansatz:
Text erkannt:
Aufagab 4
\( M:=\left\{\left.\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{2^{n}} \right\rvert\, \ln \in \mathbb{N}\right\} \)
Sie \( n=1: \frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \rightarrow \) gebables Matimum
\( n=2 ; \frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0 \)
\( n=3: \quad \frac{1}{9}-\frac{1}{8}=\frac{8}{72}-\frac{9}{72}=-\frac{1}{72} \rightarrow \) bohales Minimum
\( n=4: \frac{1}{16}-\frac{1}{16}=0 \)
\( n=5: \frac{1}{25}-\frac{1}{32}=\frac{7}{800} \approx 0,0087 \)
\( n=6: \frac{1}{36}-\frac{1}{64}=\frac{7}{576} \approx 0,0121 \)
\( n=7: \frac{1}{49}-\frac{1}{108}=\frac{79}{6272} \approx 0,0125 \rightarrow \) bohales Maximum
\( n=8: \frac{1}{64}-\frac{1}{256}=\frac{3}{256} \approx 0,0117 \)
Vermulang: fin Sonvergert gegen 0 :
\( \begin{array}{l} f(n)=\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{2^{n}}=n^{-2}-2^{-n} \\ f^{\prime}(n)=\frac{d}{d n}\left[\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{2^{n}}\right] \\ \left.f^{\prime}(n)=\frac{d}{d n}\left[n^{-2}\right]-\frac{d}{d n}\left[\frac{1}{2^{n}}\right] \right\rvert\,\left[a^{u(n)}\right]^{\prime}=\ln (a) \cdot a^{u(n)} \cdot u^{\prime}(n) \\ f^{\prime}(n)=-2 n^{-3}-\ln (2) \cdot 2^{-n} \cdot \frac{d}{d n}[-n] \\ f^{\prime}(n)=-\frac{2}{n^{3}}-\ln (2) \cdot \frac{1}{2^{n}} \cdot(-1) \\ f^{\prime}(n)=\frac{\ln (2)}{2^{n}}-\frac{2}{n^{3}} \end{array} \)
Echemstellen bestermen:
\( \begin{aligned} & 0=\frac{\ln (2)}{2^{n}}-\frac{2}{n^{3}} /+\frac{2}{n^{3}} \\ \Leftrightarrow & \left.\frac{2}{n^{3}}=\frac{\ln (2)}{2^{n}} \right\rvert\, \cdot 2^{n} \\ \Leftrightarrow & \frac{2 \cdot 2^{n}}{n^{3}}=\ln (2) \end{aligned} \)
\( \Rightarrow \) Oie \( n=7 \) gethescin bebeles Maximum, bei \( n=1 \) globales Mavinum und ber \( n=3 \) bohles Minumum.
Was besseres finde ich nicht raus, hat jemand eine bessere Lösung? Oder vielleicht habe ich es sogar falsch?
