Finden sie jeweils f‘(x)

Question

Aufgabe: Finden sie jeweils f‘(x)

Die ersten drei sollen mit der Produktregel gelöst werden, die letzten zwei mit der Kettenregel.

a) f(x)= x•cosx

b) f(x)=(x^2+1)•sinx

c) f(x)= Wurzel x • e^x

d) f(t)= 2e^0,5t

e) f(t)= (sint)^2

Problem: Ich habe leider zwei Mathestunden verpasst und weiß daher nicht, wie ich bei diesem neuen Thema vorgehen muss.

Comments

Hast du ein Lehrbuch oder ein Skript?

Answer 1

Schau mal ob du das Vorgehen eines Ableitungsrechners, wie

http://www.ableitungsrechner.net/

verstehst. Wenn nicht, dann stell gezielte Fragen zu dem, was du nicht verstehst.

Answer 2

Es gilt:

f(x)= g(x)*h(x)

-> f '(x) = g'(x)*h(x) + g(x)*h'(x)

oder mit: g(x) = u, h(x) = v

f '(x) = u'*v + u*v' , oft verwendete Schreibweise in der Schule

a) u= x -> u'= 1

v= cos(x) -> v'= -sin(x)

...

d) Es gilt:

f(x)= a*e^(bx) -> f '(x)= a*b*e^(b*x)

e)Es gilt:

f(x) = (g(x))^n

-> f '(x) = n*(g(x))^(n-1)* g'(x)

oder du leitest auch hier mit der Produktregel ab: (sint)^2 = sint*sint, u und v sind identisch

https://studyflix.de/mathematik/ableitungsregeln-einfach-erklaert-3947

Answer 3

a)

\(f(x)= x \cdot \cos(x)\)    Produktregel \((u\cdot v)'=u' \cdot v+u\cdot v'\)

\(u=x\)               \(u'=1\)

\(v=\cos(x)\)      \(v'=-\sin(x)\)

\(f'(x)= 1\cdot \cos(x)+x \cdot (-\sin(x)) \)

\(f'(x)= \cos(x)- x \cdot \sin(x) \)

Answer 4

Um diese Funktionen zu differenzieren benötigst du folgende drei Rechenregel:

1) Potenzregel. Sei f : |R \ {0} —> |R eine Funktion f(x) = ax^n mit n ∈ Z \ {0}. Dann ist f im vollen Definitionsbereich |R \ {0} differenzierbar und es gilt Df(x) = an x^(n-1) für alle x für das Differential.

Beispiel. Sei f : |R \ {0} —> |R, f(x) := 1/x^2. Dann schreibe f(x) = x^(-2) und es gilt dann Df(x) = -2 x^(-2-1) = -2 x^(-3) = -2 / x^3 für alle x.

2) Produktregel. Sei f : U —> |R eine stetig differenzierbare Funktion, wobei U ein Intervall in |R ist und es eine Teilmenge J von U gibt, sodass für alle x ∈ J dann f(x) = a(x) b(x) gilt, wobei a,b : J —> |R stetig differenzierbare Funktionen sind. Dann gilt für alle x ∈ |R für das Differenzial Df : U —> |R von f die Produktregel (Leibnizsche Regel) 
Df(x) = a(x) Db(x) + b(x) Da(x) für alle x ∈ J.

Beispiel. Sei f : (0,inf) —> |R gegeben f(x) := x sin(x). Dann setzte die beiden Faktorfunktionen a,b : (0,inf) —> |R gegeben durch a(x) := x und b(x) := sin(x), sodass f(x) = a(x) b(x) für alle x > 0 gilt. Dann ist f für alle x > 0 differenzierbar und es gilt nach der Produktregel für das Differential:

Df(x) = a(x) Db(x) + b(x) Da(x) = x (sin(x))’ + sin(x) (x)’ = x cos(x) + sin(x) für alle x > 0.

3) Kettenregel. Seien u : U —> |R, v : V —> |R zwei differenzierbare Funktionen mit der Eigenschaft u(U) ⊂ V und U,V ⊂ |R zwei offene Teilmengen. Dann ist die Komposition

F := v ∘ u : U —> |R auch differenzierbar und das Differential DF : U —> |R ist gegeben durch

DF(x) = Dv(u(x)) Du(x) für alle x ∈ U, wobei hier Dv : V —> |R und Du : U —> |R die Differentiale von v bzw. u sind.

Beispiel: Sei F : (0,inf) —> |R gegeben durch F(x) := sin(1/x). Dann setzten v := sin und u(x) := 1/x, so gilt F(x) = (v ∘ u)(x) für alle x > 0. Da sowohl u und v für alle x > 0 differenzierbar sind, folgt mit der Kettenregel auch, dass auch F differenzierbar für alle x > 0 ist und für das Differenzial gilt dann:

DF(x) = Dv(u(x)) Du(x) = cos(1/x) (-1/x^2)

= -cos(x) / x^2, für alle x > 0.

Denn: Dv = cos und Du(x) = (1/x)’ = (x^(-1))’

= (-1) x^(-2) = -1/x^2 (Potenzregel für n = -1).