Finden sie jeweils f‘(x)

Question

Aufgabe: Finden sie jeweils f‘(x)

Die ersten drei sollen mit der Produktregel gelöst werden, die letzten zwei mit der Kettenregel.

a) f(x)= x•cosx

b) f(x)=(x^2+1)•sinx

c) f(x)= Wurzel x • e^x

d) f(t)= 2e^0,5t

e) f(t)= (sint)^2

Problem: Ich habe leider zwei Mathestunden verpasst und weiß daher nicht, wie ich bei diesem neuen Thema vorgehen muss.

Comments

Hast du ein Lehrbuch oder ein Skript?

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Hallo,

bei den ersten drei Aufgaben fällt dir bestimmt auf, dass zwei Funktionen miteinander multipliziert werden.

b) f(x)=(x^2+1)•sinx

Hier sind es

 \(u(x)=x^2+1\)

und

\(v(x)=\sin(x)\).

Die beiden müssen jeweils abgeleitet werden.

 \(u(x)=x^2+1 \Longrightarrow u'(x)=2x\)

\(v(x)=\sin(x) \Longrightarrow v'(x)=\cos(x)\)

Nun musst dunoch die Produktregel kennen.

\(f(x)=u\cdot v\Longrightarrow f'(x)=u' \cdot v+u\cdot v'\)

Also

\(f'(x)=\underbrace{2x}_{u'}\cdot\underbrace{\sin(x)}_v +\underbrace{ (x^2+1)}_{u}\cdot\underbrace{\cos(x)}_{v'}\)

:-)

Answer 1

Schau mal ob du das Vorgehen eines Ableitungsrechners, wie

http://www.ableitungsrechner.net/

verstehst. Wenn nicht, dann stell gezielte Fragen zu dem, was du nicht verstehst.

Answer 2

Es gilt:

f(x)= g(x)*h(x)

-> f '(x) = g'(x)*h(x) + g(x)*h'(x)

oder mit: g(x) = u, h(x) = v

f '(x) = u'*v + u*v' , oft verwendete Schreibweise in der Schule

a) u= x -> u'= 1

v= cos(x) -> v'= -sin(x)

...

d) Es gilt:

f(x)= a*e^(bx) -> f '(x)= a*b*e^(b*x)

e)Es gilt:

f(x) = (g(x))^n

-> f '(x) = n*(g(x))^(n-1)* g'(x)

oder du leitest auch hier mit der Produktregel ab: (sint)^2 = sint*sint, u und v sind identisch

https://studyflix.de/mathematik/ableitungsregeln-einfach-erklaert-3947

Answer 3

a)

\(f(x)= x \cdot \cos(x)\)    Produktregel \((u\cdot v)'=u' \cdot v+u\cdot v'\)

\(u=x\)               \(u'=1\)

\(v=\cos(x)\)      \(v'=-\sin(x)\)

\(f'(x)= 1\cdot \cos(x)+x \cdot (-\sin(x)) \)

\(f'(x)= \cos(x)- x \cdot \sin(x) \)

Answer 4

Um diese Funktionen zu differenzieren benötigst du folgende drei Rechenregel:

1) Potenzregel. Sei f : |R \ {0} —> |R eine Funktion f(x) = ax^n mit n ∈ Z \ {0}. Dann ist f im vollen Definitionsbereich |R \ {0} differenzierbar und es gilt Df(x) = an x^(n-1) für alle x für das Differential.

Beispiel. Sei f : |R \ {0} —> |R, f(x) := 1/x^2. Dann schreibe f(x) = x^(-2) und es gilt dann Df(x) = -2 x^(-2-1) = -2 x^(-3) = -2 / x^3 für alle x.

2) Produktregel. Sei f : U —> |R eine stetig differenzierbare Funktion, wobei U ein Intervall in |R ist und es eine Teilmenge J von U gibt, sodass für alle x ∈ J dann f(x) = a(x) b(x) gilt, wobei a,b : J —> |R stetig differenzierbare Funktionen sind. Dann gilt für alle x ∈ |R für das Differenzial Df : U —> |R von f die Produktregel (Leibnizsche Regel) 
Df(x) = a(x) Db(x) + b(x) Da(x) für alle x ∈ J.

Beispiel. Sei f : (0,inf) —> |R gegeben f(x) := x sin(x). Dann setzte die beiden Faktorfunktionen a,b : (0,inf) —> |R gegeben durch a(x) := x und b(x) := sin(x), sodass f(x) = a(x) b(x) für alle x > 0 gilt. Dann ist f für alle x > 0 differenzierbar und es gilt nach der Produktregel für das Differential:

Df(x) = a(x) Db(x) + b(x) Da(x) = x (sin(x))’ + sin(x) (x)’ = x cos(x) + sin(x) für alle x > 0.

3) Kettenregel. Seien u : U —> |R, v : V —> |R zwei differenzierbare Funktionen mit der Eigenschaft u(U) ⊂ V und U,V ⊂ |R zwei offene Teilmengen. Dann ist die Komposition

F := v ∘ u : U —> |R auch differenzierbar und das Differential DF : U —> |R ist gegeben durch

DF(x) = Dv(u(x)) Du(x) für alle x ∈ U, wobei hier Dv : V —> |R und Du : U —> |R die Differentiale von v bzw. u sind.

Beispiel: Sei F : (0,inf) —> |R gegeben durch F(x) := sin(1/x). Dann setzten v := sin und u(x) := 1/x, so gilt F(x) = (v ∘ u)(x) für alle x > 0. Da sowohl u und v für alle x > 0 differenzierbar sind, folgt mit der Kettenregel auch, dass auch F differenzierbar für alle x > 0 ist und für das Differenzial gilt dann:

DF(x) = Dv(u(x)) Du(x) = cos(1/x) (-1/x^2)

= -cos(x) / x^2, für alle x > 0.

Denn: Dv = cos und Du(x) = (1/x)’ = (x^(-1))’

= (-1) x^(-2) = -1/x^2 (Potenzregel für n = -1).

Comments

An sich ja ganz nett, die Regeln zu erklären und Beispiele zu nennen, aber für den Adressaten eher völlig ungeeignet, mal wieder. Bedenke doch bitte einfach mal, dass hier nicht jeder Mathematik studiert und auch nicht jeder deinen Wissensstand hat, was Begriffe und Notationen angeht. Die sind der Schule nämlich eher dürftig.

Vermutlich stammt die Frage von einem Abiturienten. Dort sind Begriffe wie Differential, offene Teilmenge, die Schreibweise \(Df(x)\) anstelle von \(f'(x)\) in der Regel nicht bekannt und auch völlig unüblich. Deine Antwort erfüllt also eher den Zweck einer vollständigen Verwirrung anstatt zielgerichtet zu helfen.

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Und das bei einem FS, der bekennender Anfänger ist und grundlegendes verpasst hat. Welchen Sinn hat eine solche Antwort?

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Wie bei so manchem: Selbstdarstellung.

Man kann doch das als Hilfe nicht wirklich ernst meinen. Vor allem dann nicht, wenn man schon mehrfach dafür kritisiert wurde und genau die Gründe genannt hat, warum das ungeeignet ist. Oder ist es dann einfach nur Ignoranz?

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@Txman:

Etwas offtopic:

|R

Für die Menge der reellen Zahlen gibt es das Symbol ℝ.

Außerdem ist es empfehlenswert, dass du dich mit LaTeX beschäftigst, damit der Formelsatz professioneller und lesbarer aussieht.

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@Apfelmännchen, @nudger

Ich verstehe was ihr meint, doch es ist doch nicht schlimm, wenn Schüler die wissenschaftlichere Notation schon mal ein bischen kennenlernen.

Wieso sollten Schüler immer ihr eingeschränktes und auch z.T. falsches Wissen beibehalten und nicht offen für neueres sein? Das erleichtert dann ihnen auch dem Übergang von Schule zum Studium, wenn sie schon mal etwas damit vertraut sind.

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Nein, verstehst Du offensichtlich nicht. Jeder (auch Du) hat mal mit eingeschränktem Wissen angefangen. Das kann man dann später, je nach Laufbahn, erweitern, darum geht es hier nicht. Warum sollte man gleich als Anfänger die "wissenschaftliche Notation" kennenlernen? Und (sin(x))' ist keine wissenschaftliche Notation.