Konvergieren die Folgen q^n und z^n?

Question

Aufgabe:

Seien \( q \in[0,1) \) und \( z \in \mathbb{C} \) mit \( |z|<1 \). Konvergieren die Folgen \( \left(q^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(z^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ? Falls ja, wogegen?

Problem/Ansatz:

Für diese Aufgabe wollte ich q und z als identisch setzten. Danach habe ich für q eine Fallunterscheidung angewendet, gleich 0 ist ja trivial und fall  0<q<1 ist tricky, da habe ich q=1- epsilon definiert, wobei 0 < epsilon. Wie soll ich nun zeigen mit der abschätzung, dass dieser Fall auch stimmt?

Comments

Du hast doch bereits gezeigt, dass \(q^n\leq\dfrac1{(n + 1)\cdot(1 - q)}\) ist. D.h. \(q^n\) konvergiert gegen Null.

Answer 1

q^n ist für 0≤q<1 (bekanntlich) eine Nullfolge.

Weise einfach nach, dass es dann für jedes ε>0 IMMER eine nat. Zahl N mit q^N<ε gibt.

(Logarithmieren der Ungleichungen und bedenken, dass ln(q) negativ ist.)