Ebenen Gleichung Parameterform Ebene aufstellen

Question

Aufgabe:

Geben sie die vektorielle Parametergleichung folgender Ebene im Raum an.

e) E7 enthält die Winkelhalbierende des 1.Quadranten der yz-Ebene und steht senkrecht zur yz-Ebene.

f) E8 enthält die Gerade g:x=(1,-1,1)+r(3,2,1) sowie die Gerade h durch die Punkte A(3,2,2) und B(4,1,2)

Wie rechnet man das?

Answer 1

Du fragst mehrmals zum gleichen Aufgabentyp und die Antwort ist jedesmal dieselbe - benutze die geometrische Vorstellung. Darum geht es in der Aufgabe, nicht um irgendwelche Zahlen, die am Ende rauskommen.

Also Skizze anfertigen, ein Blatt Papier als Ebene in die Hand nehmen, auf dem Schreibtisch bewegen usw..
Bei E7 kennst Du einen Richtungsvektor und einen Punkt. Schau ob Du einen zweiten Punkt findest.

Zu E8 kannst Du leicht eine zweite Gerade finden, die drin liegt, womit Du insgesamt zwei Richtungsvektoren hast.

Fang an was auszuprobieren.

Comments

Ok hab für f) jetzt E8:x=(1,-1,1)+r(3,2,1)+s(1,-1,0).

Bei e) kann ich’s mir nicht wirklich vorstellen. Weil die Winkelhalbierende ist doch das was x und y Achse in der Mitte durchteilt. Wie kann dann die Ebene noch senkrecht dazu stehen. Bzw. Glaub ich eigentlich dass ich in dem Kontext mir den 1. Quadranten nicht ganz vorstellen kann. Beschreibt es jetzt wie in 2d noch diese eine Fläche zwischen z und y oder den gesamten Raum?

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Aus Deinen Formulierungen kann ich nicht erkennen, ob Du die 1.WH richtig hast. Ich gehe mal davon aus. Das ist eine Gerade im \(R^3\), womit Du eine Richtung und genügend Punkte kennst.

E7 steht auf der yz-Ebene senkrecht (sowas kennst Du aus der Aufgabe mit den Normalenvektoren). Benutze ein Blatt Papier um Dir diese Lage klar zu machen. Bewege es dann so, dass die 1.WH drin liegt. Das sollte Dir ermöglichen einen weiteren Punkt zu finden.

Das Ergebnis für E8 stimmt.

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Danke! Ich habe für f) jetzt den Richtungsvektor r=(0,1,1) und einen Punkt P(0,0,0). Ich komme jedoch nicht darauf wie man noch einen Punkt finden kann.

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Du brauchst keinen zweiten Punkt, sondern einen zweiten Richtungsvektor. Diesen bekommst du über die Orthogonalität zur \(yz\)-Ebene: finde einen Vektor, der orthogonal zu dieser Ebene ist und nicht kollinear zu deinem bisherigen Richtungsvektor.

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Sry ich glaube ich hab’s jetzt ganz verloren. Ich glaube es liegt daran, dass es in meiner Vorstellung widersprüchlich ist. Wenn die WH eine Gerade ist die y und z quasi halbiert also g:x=(0,0,0)+r(0,1,1) ist, wie kann denn dann die Ebene noch senkrecht zur yz Ebene stehen und die Gerade enthalten

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Stelle dir deine Tischplatte als Ebene vor. Nimm dir ein Buch und stelle es mit der langen Kante auf die Tischplatte. Das Buch beschreibt eine weitere Ebene, die orthogonal zu deiner Tischplatte ist. Drehe nun das so stehende Buch um einen beliebigen Winkel entlang der kurzen Seite und du erhältst eine weitere, aber immer noch zur Tischplatte senkrechten Ebene.

Warum geht das? Zu einem beliebigen Vektor gibt es unendlich viele orthogonale Vektoren (im Raum), die orthogonal sind und eine andere Orientierung haben.

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Noch ein Versuch: Deine 1.WH stimmt. In 3d-Sicht haben wir: x-Achse nach rechts, y-Achse nach hinten, z-Achse nach oben. Von vorne gesehen schaust Du also auf die Kante der yz-Ebene, in der liegt auch diese 1.WH. Verschiebe nun diese 1.WH (die ganze Gerade) senkrecht zu dieser Ebene nach rechts. Diese verschobenen Geraden liegen alle in E7, die bilden praktisch die Ebene (man muss natürlich auch nach links verschieben). Es ist eine schiefe Ebene, auf die man von vorne schaut, im 45Grad-Winkel ansteigende. Mach Dir klar, dass das genau die gesuchte Ebene ist.

Beiß Dich mal durch, das ist eine reine Übungssache.

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Bei e) kann ich’s mir nicht wirklich vorstellen.

ein Bild sagt oft mehr als viele Worte:

klick drauf und bewege die Szene anschließend mit der Maus.

Die Winkelhalbierene ist die blaue Gerade. \(E_7\) ist grün und steht senkrecht zur yz-Ebene. Der Normalenvektor von \(E_7\) ist schwarz.

Tipp: die X-Achse liegt auch in \(E_7\)

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Ahhhh okay ich glaube ich habe meinen Denkfehler gefunden. Ich hatte ne falsche Vorstellung von wie der rechte Winkel aussieht. Ich hätte dann E: x=(0,0,0)+r(0,1,1)+s(1,0,0). Stimmt das?

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Ja, stimmt.        .

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Danke Sie waren sehr geduldig.

Answer 2

Mögliche Lösungen wären z.B.

e)

E7: X = r·[0, 1, 1] + s·[1, 0, 0]

f)

E8: X = [1, -1, 1] + r·[3, 2, 1] + s·[2, 3, 1]

Comments

Für E7 ist das genau die Lösung, die der Frager schon lange gefunden hat. Für E8 ist das eine der unendlich vielen anderen Möglichkeiten. Der Frager hat ja eine richtige Antwort gefunden

Was ist der Sinn Deiner Antwort, was ist da neu?