Aufgabe:
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Aufgabe 4 (8 Punkte).
Für \( n \in \mathbb{N} \) definiere
\( T_{n}:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \cos (n \cdot \arccos (x)) \)
Zeigen Sie, dass es für jedes \( n \in \mathbb{N} \) ein Polynom \( p_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) gibt mit
\( p_{n}(x)=T_{n}(x), \quad x \in(-1,1) \)
Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass \( T_{n+1}(x)=2 x T_{n}(x)-T_{n-1}(x) \) für alle \( n \geq 1 \). Um das zu beweisen, könnte die Formel für \( \cos (a+b)+\cos (a-b) \) nützlich sein.
Problem/Ansatz:
Ich weiß leider nicht mal so richtig, was zu tun ist. Ich habe als Idee gehabt, zunächst die rekursive Beziehung für n=0 (=1) und für n=1 (=x) nachzuweisen und diese als Induktionsvoraussetzung zu nutzen.
Als Induktionsannahme habe ich dann angenommen, dass die Beziehung für n und n-1 gilt und als Induktionsschritt habe ich dann n+1 eingesetzt.
Dann komme ich allerdings nicht weiter und weiß auch wirklich nicht, ob das überhaupt richtige Ansätze sind, weshalb ich diese auch nicht hochgeladen habe. Besonders mit sin, cos, tan habe ich wirklich Schwierigkeiten.
