Das ist kein formal korrekter Beweis, höchstens eine Beweisskizze.
Der Beweis einer Behauptung wird geführt, indem anhand der Definitionen der verwendeten Begriffe gezeigt wird, dass die Behauptung wahr ist.
Vorliegend geht es um den Betrag einer Zahl. Dieser ist so definiert:
$$\left| x \right| =\left\{ \begin{matrix} x,\quad falls\quad x\quad \ge \quad 0 \\ -x,\quad falls\quad x<0 \end{matrix} \right\}$$
Behauptung:
| x | = | - x |
Beweis:
Fallunterscheidung:
Fall 1: x ≥ 0
dann:
| x | = | - x |
<=> x = | - x |
<=> x = - ( - x ) = x
Wahre Aussage.
Fall 2: x < 0
dann:
| x | = | - x |
<=> - x = | - x |
<=> - x = - x
Wahre Aussage.
Damit ist die Gleichung
| x | = | - x |
für alle x ∈ R bewiesen, da sie für alle x ∈ R zu einer wahren Aussage führt.
