Mathe: Holzstämme berechnen

Question

Aufgabe:

An einem Berghang ist ein Stapel mit 1,5m langen Holzstämmen. Wie viel Raummeter Holz enthält der Stapel

Problem/Ansatz:

Verstehe es nicht ganz ist 4m die Höhe oder die Länge des Stapels.

Ist 1•4•1,5 richtig als Ergebnis.

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4 m ist die Länge.

Answer 1

Die Bäume füllen ja kein Rechteck bzw. Quader aus, dazwischen ist immer Luft.

Wieviel Raummeter hat wohl ein Stamm? Er ist ja angenommen rund, den Durchmesser kann man an der Skizze ablesen. Dann nur noch die Anzahl der Stämme nehmen…

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Die Bäume füllen ja kein Rechteck bzw. Quader aus

Die Stämme selbst nicht, aber die gesuchten Raummeter schon. Beim Raummeter zählen die Luft zwischen dem Holz mit.

Schon mal Brennholz gekauft? ;-)

Answer 2

Ist 1•4•1,5 richtig als Ergebnis.

Ja.

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Vermutlich ist diese Lösung gemeint, aber ich denke, dass sie nicht stimmt, da die Stämme nicht in einem rechteckigen Volumen übereinander liegen.

Wenn man die Festmeter ausrechnet (über den Durchmesser eines Stammes) mal die Anzahl der Stämme (80)  komme ich auf 5,89 Festmeter.

Laut Faustformel ergeben sich daraus 1,7 * 5,89 = 10,01 Raummeter.

Und dass wäre doch recht weit weg von den 6 Raummetern oben.

Wenn man sich die Stämme gerade übereinander gestapelt vorstellt, wäre die Hohe 5m statt 4m, und das kommt dann schon etwas besser hin.

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in einem rechteckigen Volumen

ich kenne nur rechteckige Flächen.

Laut Faustformel ...

Der Fragesteller hat doch angegeben, wie er das Volumen des Holzstapels, ohne Faustformel, ausgerechnet hat.

... wäre die Hohe 5m statt 4m

Die Höhe ist 1 m.

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Ok, wenn es Dir auf billige Rhetorik ankommt, alles klar.

Ob ich das eingestellte Bild drehe (danke für den Hinweis) oder nicht und Höhe und Breite tausche, spielt für die Berechnung keine Rolle.

Und 20 Stämme á 25cm Durchmesser (die Annahme ist natürlich, dass alle Stämme gleich geformt sind) passen nicht nebeneinander auf 4m.

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Wenn 1*4*1,5 die richtige Lösung wäre warum dann liegen die an einem Hang, der Länger ist als 4m?

Gibt es Angaben über die Form des Hangs? Besser die vollständige Orginalaufgabe i

lul

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Gibt es Angaben über die Form des Hangs?

so wie die Stämme hier geschichtet sind (immer vier über einander) spielt die Form des Hangs für das gesuchte Volumen keine Rolle. Siehe auch das Prinzip von Cavalieri.

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Danke, das klärt die Sache.

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Danke Werner für die Verbeserung.

lul

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Ich bin dennoch noch nicht ganz überzeugt

Ja, nach Cavalieri sind die Volumina zweier gleich hoher Körper mit gleich großenparallelen Schnittflächen gleich - aber: im abgebildeten Fall habe ich 20 Stämme in 4 Lagen nebeneinander, wenn sie auf einer Ebene liegen passen aber nur 16 Stämme in 4 Lagen nebeneinander auf 4 Meter.

Ich habe also einmal 80 Stämme und das andere Mal 64 Stämme. Die Festmeter sind dann offensichtlich unterschiedlich, die Raummeter sollen gleich sein?

Wo ist mein Denkfehler?

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Raummeter ist das Volumen mit Luftzwischenräumen, also

1 * 4 * 1,5 = 6 RM

Festmeter ist das Volumen ohne Luftzwischenräumen, und dabei gilt etwa

6 RM = 6 * 0,7 FM = 4,2 FM

Aber danach war nicht gefragt.

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Was ich nicht verstehe ist die Diskrepanz der Anzahl der Stämme

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Dein Denkfehler besteht darin, dass du dich zu sehr auf die Abbildung versteifst. Man beachte, dass solche Abbildungen in den seltensten Fällen maßstabgetreu sind.

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Na ja, also dann noch mal meine Annahmen, vielleicht liegt da ja der Fehler.

Wir sehen 80 kreisrunde Stämme. Vier übereinander (und aneinander) ergeben wie in der Skizze angegeben 1m (offensichtlich ist also der Durchmesser eines Stammes 0,25m).

Auf 4m passen also 16 nebeneinander, 20 benötigen 5m.

Das Prinzip des Herren C. (Fubini läßt grüßen) sagt bei gleich hohen (hier langen) Körpern mit gleichen Flächen bei parallelem Schnitt etc. ist das Volumen gleich.

Wenn ich allerdings die Stämme gerade ausrichte, dann beträgt die Länge 5m bei 20 Stämmen und nicht 4m (gleiche Höhe war ja bei C. Voraussetzung).

Und an der Stelle verließen sie ihn …

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Nochmal: Du versteifst dich zu sehr auf die Skizze und fängst an, Baumstämme zu zählen. Das ist für die Berechnung der Raummeter aber völlig irrelevant.

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Es ist auch irrelevant, ob sie transversal kreisrund sind. Das schreibe ich, weil oben jemand Zylindervolumen ausgerechnet hat.

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Wenn ich allerdings die Stämme gerade ausrichte, dann beträgt die Länge 5m bei 20 Stämmen und nicht 4m

das hast Du völlig richtig erkannt. Das ist das Kreuz mit dem 'Raummeter'. Dies ist ein Mass welches eigentlich gar keines ist, und trotzdem wird es im Handel mit (Brenn-)Holz als Mengeneinheit benutzt - letztlich aus Mangel an Alternativen.

Wenn man genau hinschaut, haben die senkrechten 4'er-Reihen unterschiedliche horizontale Abstände. Abhängig davon ob sie auf waagerechten oder ansteigendem Gelände liegen.

Wieviel Holz in einem Raummeter rein passt, hängt von der Schichtung ab, von der Varianz der Größe der einzelnen Holzstücke, von der Größe und Art der umgebenden Begrenzung, von der Art der Schlichtung und bei Schüttung sogar von der Holzart und ob die Rinde noch dran ist oder nicht und von was weiß ich noch. Ich hatte mal einen Studie dazu von der Fakultät Wald und Forstwirtschaft Hochschule Weihenstephan gelesen.

Auf dem Bild oben sind es 1m mal 4m mal Länge der Stämme Raummeter. Schlichtet man die gleiche Menge in der gleichen Weise in der Ebene werden es 1m mal 5m mal Länge Raummeter.

Also Augen auf beim Brennholzkauf ;-)

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Wieviel Holz in einem Raummeter rein passt, ...

... und das wichtigste habe ich noch vergessen: es hängt auch noch davon ab, wer Dir das Holz verkauft!