Schnittpunkt zweier Exponentialfunktionen

Question

Aufgabe:

3.0 Gegeben sind die Funktionen \( g \) und \( h \) durch die Funktionsgleichungen \( g(x)=2 \cdot e^{x}-1 \) und \( h(x)=e^{2 \cdot x} \) mit den Definitionsmengen \( D_{g}=D_{h}=\mathbb{R} \).

3.1 Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des einzigen gemeinsamen Punktes P der Graphen der beiden Funktionen g und h .

Problem/Ansatz:

Kann man bei 3.1 die Aufgabe auch ohne Substiution lösen ohne geht das nicht? Gibt es auch andere Mathematische Möglichkeiten aber ohne Taschenrechner

Comments

Dein Schlagwort "quadratische-gleichungen" passt irgendwie nicht.

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Letztendlich ist es doch eine.

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Ja, Maestro. Aber ob dem Fragesteller so klar ist, dass die beiden Funktionsgleichungen keine quadratischen sind?

Answer 1

Kann man bei 3.1 die Aufgabe auch ohne Substiution lösen (...)?

Die zu lösende Gleichung \(h(x)=g(x)\) ist eine quadratische Gleichung über dem Term \(\textrm{e}^x\). Die lässt sich, etwa über die zweite binomische Formel, in die Exponentialgleichung \(\textrm{e}^x=1\) umformen und dann lösen. Dazu wird keine Substitution benötigt.

Der Lösungsweg "Substitution" ist in diesem und vielen anderen Fällen nur eine Schreibvereinfachung. Ist diese "Vereinfachung" nicht großartig erhellend, so wie hier, so handelt es sich nur um Schreibveränderung, die sicher nicht nötig ist.

Answer 2

Nix Substitution und nix Taschenrechner. Sondern

2e^x - 1 = e^2x

2e^x - 1 - e^2x = 0

e^2x - 2e^x + 1 = 0

(e^x - 1)² = 0

x = 0

Comments

Noch eine allgemeine Frage:

e^2x = (e^x)^2

Wie sieht das mit dieser Funktion aus:

e^2x+3  = (e^x)^2 was passiert mit der 3?

Und wie heißt diese mathematisch Regelung?

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Nutze \(\mathrm{e}^{2x+3}=\mathrm{e}^3\mathrm{e}^{2x}\).

Stichwort: Potenzgesetze.

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Wenn man das ganze jetzt vereinfachen will stimmt das so:

e³ _* e^2x  = e^3 * (e^x)^2 = e^3 × 1 = e^3

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Warum sollte das stimmen?

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Never Mind

e^0 = 1 nicht e^x passt danke

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döschwo, deine zweite Zeile ist überflüssig, wenn man auf beiden Seiten den linken Term subtrahiert. Stattdessen hätte ich aus Gründen des besseren Verständnisses die Zeile (e^x)² - 2e^x + 1 = 0 an vorletzter Position eingefügt.

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Kann man natürlich alles machen; es gibt auch Schüler für die sind alle Zeilen überflüssig, weil man sieht, dass bei g(x) der Faktor 2 und der Subtrahend 1 nichts an g(0) ändern, und sich die Graphen darum dort scheiden, wo sich die Graphen aller Funktionen y = a^bx scneiden, nämlich bei (0│1). Ich meine aber, für den Fragesteller sind die Zeilen nicht überflüssig.

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Wie nennt man die Buchstaben z. B.

y = a^bx  

Ich habe gelesen, dass man das nicht Koeffizienten nennt, bzw. der Koeffizientet a gibt Auskunft über ....

Nennt man das bei e Funktionen jetzt Parameter oder was ist mathematisch Korrekt?

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Alles, was keine Variablen sind, sind Parameter. ;)

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Gute Frage, das geht im Sprachgebrauch meistens etwas fließend ineinander über.

Bei 4x² würde man die 4 als Koeffizient oder (Bei-) Faktor bezeichnen.

Bei ax² könnte man a als Koeffizient oder auch als Parameter bezeichnen. Ein Parameter ist in der Regel frei wählbar aber dann fest. Also irgendwie auch eine Variable, aber von anderer Natur als die üblichen Variablen, die mit x oder x₁ etc. bezeichnet werden.

Bei e^ax würde man dagegen bei a von einem Parameter reden, nicht von Koeffizient. Parameter werden häufig bei Funktionsscharen genutzt, also wenn man untersuchen will, wie sich in Abhängigkeit von a die Funktionen unterscheiden. Hier sieht man besonders deutlich, dass ein Parameter beliebig gewählt werden kann, aber dann fest ist.

So könnte man in Kurzschreibweise fragen, wie verhält sich die Funktion e^ax für a=2, -1 und 1/2.

Answer 3

Die Substitution ist nur eine Abkürzung der Schreibweise.

\(e^{2x}-2e^x+1=0\) ist nichts anderes als

\((e^{x})^2-2e^x+1=0\) mit den "beiden" Lösungen

\((e^{x})_{1,2}=1\pm\sqrt{1^2-1}=1\), was auf e^x=1 führt, also auf x=0.

Du kannst auch die binomische Formel erkennen und \(e^{2x}-2e^x+1=0\) zu

\((e^{x}-1)^2=0\) umschreiben.

Comments

Der einzig gemeinsame Punkt ist x = 0?

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x=0 ist kein Punkt.

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\((e^{x})_{1,2}=1\pm\sqrt{^-1}\)

Das sieht merkwürdig aus...

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x=0 ist kein Punkt.

Ja, dass ist eine Stelle, es tut mir Leid.

Könntest du oder jemand anderer eventuell erläutern wie du von:
\((e^{x})^2-2e^x+1=0\)

auf das kommst:

 \((e^{x})_{1,2}=1\pm\sqrt{^-1}\)

Was passiert mit der hoch 2 oder wo ist das −2e^x ?

Wir sind nicht so gut in Mathe, eventuell in paar kleineren Schritten für  nicht Mathematiker erklären ?

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Hast du schon mal was von der pq-Formel gehör?

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Ja aber noch nie benutzt, nur die Mitternachtsformel.

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@abakus:

Ich habe den mysteriösen Radikanden verbessert.

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Jetzt macht alles mehr Sinn, danke @Monty

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Weg über die Substitution:

\(e^x=z\)

\(z^2-2z+1=0\)

\((z-1)^2=0\)

\(z=1\)  

und zurück:

\(e^x=1\)

\(x=0\)

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Zum Glück nur ein Kommentar, denn was an "ohne Substitution" wurde nicht verstanden?

Answer 4

Kann man bei 3.1 die Aufgabe auch ohne Substiution lösen ohne geht das nicht?

Es geht auch ohne Substitution, mit wäre aber der typische Weg für Schüler

2·e^x - 1 = e^{2·x}

Subst. e^x = z und x = ln(z)

2·z - 1 = z^2
z^2 - 2·z + 1 = 0

Gibt es auch andere Mathematische Möglichkeiten aber ohne Taschenrechner

Nullstellen z.B. über quadratische Ergänzung, pq-Formel oder binomische Formel. Das geht alles sehr gut ohne Taschenrechner.

(z - 1)^2 = 0 → z = 1

x = ln(1) = 0