Unabhängigkeit Unkorreliertheit Beobachtung

Question

Ich weiß, dass die Frage schon in einem anderen Forum gestellt wurde, aber ich frage dennoch nach:

Im Allgemeinen folgt aus Unkorreliertheit nicht Unabhängigkeit, umgekehrt ist die Implikation jedoch gültig. Es gibt aber Verteilungen wo diese Begriffe äquivalent sind. (bivariate bzw. multivariate Normalverteilung zbsp)

Jedoch beschäftige ich mich genau mit dieser Art von Verteilungen, wo diese Äquivalenz eben gilt, wie gerade als Beispiel genannt "bivariate bzw. multivariate Normalverteilung". Durch Beobachtung, habe ich bemerkt, dass bei Verteilungen, die radialsymmetrisch (invariant bzgl. Spiegelungen bzw. Rotationen etc.) sind und "absolut stetig", diese Äquivalenz gilt. Also es sind hinreichende Bedingungen möchte ich damit sagen.
Liege ich hier richtig oder Blödsinn?

Comments

Deine Beobachtung, dass bei radialsymmetrischen und absolut stetigen Verteilungen Unkorreliertheit und Unabhängigkeit äquivalent sein könnten, ist nicht ganz korrekt. Radialsymmetrie allein reicht nicht aus, um diese Äquivalenz zu garantieren. Ein Gegenbeispiel ist die bivariate t-Verteilung: Sie ist radialsymmetrisch und absolut stetig, aber Unkorreliertheit impliziert hier nicht Unabhängigkeit (außer im Grenzfall unendlicher Freiheitsgrade, wo sie zur Normalverteilung wird).

Die Äquivalenz gilt speziell für die multivariate Normalverteilung, aber nicht allgemein für alle radialsymmetrischen Verteilungen. Deine Vermutung ist also nicht richtig.

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Man könnte evtl. noch die "Farlie Gumbel Morgenstern Familie" heranziehen als Beispiel

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Ich sehe hier kein Duplikat zur verlinkten Frage. Es geht hier doch schon um etwas anderes!