Potenzen mit mehren Unbekannten

Question

Kann mir jemand behilflich sein, diese Gleichung nach x aufzulösen?

 

3*2²ⁿ+(3*2²)ⁿ-4*2^2n-1+2²ⁿ⁺²*1/4-2*(1/2)^-2n=(2x)²ⁿ

Answer 1

3*2²ⁿ+(3*2²)ⁿ-4*2^2n-1+2²ⁿ⁺²*1/4-2*(1/2)^-2n=(2x)²ⁿ

Ich schreibe es mal etwas pragmatischer hin:

3*2²ⁿ+(3*2²)ⁿ-2¹*2¹*2^2n-1+ 2²ⁿ⁺²/(2¹*2¹) -2*(1^-2n/2^-2n) = 2²ⁿ*x²ⁿ

Potenzgesetze anwenden

3*2²ⁿ+(3*2²)ⁿ- 2^2n-1+1+1+ 2^2n+2-1-1 - 2*(1/2^-2n) = 2²ⁿ*x²ⁿ

3*2²ⁿ+(3*2²)ⁿ- 2²ⁿ⁺¹+ 2²ⁿ - 2¹*2²ⁿ = 2²ⁿ*x²ⁿ

3*2²ⁿ+(3*2²)ⁿ- 2²ⁿ⁺¹+ 2²ⁿ - 2²ⁿ⁺¹ = 2²ⁿ*x²ⁿ

3*2²ⁿ+ 3ⁿ*2²ⁿ- 2²ⁿ⁺¹+ 2²ⁿ - 2²ⁿ⁺¹ = 2²ⁿ*x²ⁿ

3*2²ⁿ+ 3ⁿ*2²ⁿ- 2¹*2²ⁿ⁺¹+ 2²ⁿ  = 2²ⁿ*x²ⁿ

3*2²ⁿ+ 3ⁿ*2²ⁿ- 2²ⁿ⁺²+ 2²ⁿ  = 2²ⁿ*x²ⁿ  | : 2²ⁿ

3+ 3ⁿ- 2²+ 1  = x²ⁿ

3ⁿ  = x²ⁿ     | beide Seiten hoch 1/n

(3ⁿ)^1/n  = (x²ⁿ)^1/n

3^n/n = x ^2n/n

x² = 3

x _1/2 = ±√3

 

Answer 2

Substitution

z = 3*2²ⁿ+(3*2²)ⁿ-4*2^2n-1+2²ⁿ⁺²*1/4-2*(1/2)^-2n

(2 * x )^{2n} = z
2n * ln ( 2 x ) = ln ( z )
ln ( 2 x ) = ln ( z ) / ( 2n)
2 * x = e^{ln[z]/[2n]}
x =  e^{ln[z]/[2n]} / 2
Und jetzt wieder rücksubstituieren

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mfg Georg

Comments

Und wie kommt man dann auf  x = ±√3 ?

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Das Ergebnis ist richtig.
Es ergibt sich ein von n unabhängiges Ergebnis.
n kürzt sich also weg.
Leider weiß ich nicht wie.
Vielleicht kann dir jemand anders im Forum noch helfen.

mfg Georg