Wie kann ich anhand der Definition der Konsistenz zeigen, dass einer der Schätzer nicht konsistent ist?

Question

$$ \hat{a}(X_1, \dots, X_N) = \frac{1}{2} (X_1 + X_N) \\ \hat{a}(X_1, \dots, X_N) = \frac{1}{2} (X_1 - X_N)^2\ \\ \lim \limits_{N \rightarrow \infty} P_{\theta}\left(\left\|\hat{a}_{N}\left(\left(X_{1}, \ldots, X_{N}\right)\right)-a(\theta)\right\|>\epsilon\right)=0 \quad \text{für alle } \epsilon>0, \theta \in \Theta. $$
Hallo Zusammen.

Wie kann ich anhand der Definition der Konsistenz zeigen, dass einer der Schätzer nicht konsistent ist? Insbesondere, wie kann ich eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit finden, dass die Schätzfunktion in einem gewissen Abstand von \( a(\theta) \) bleibt, und daraus folgern, dass die Wahrscheinlichkeit nicht gegen Null geht? Es geht um die Geometrische Verteilung mit Erwartungswert \frac{1}{p}

Ich weiß, wie man \( L^2 \)-Konsistenz zeigt, aber für die Klausur darf ich das nicht nutzen.

Answer 1

Stochastik ist zwar nicht ganz meine Stärke und etwas her, aber:

Es ist

\( \mathbb{E}[\hat a_N] = \frac{1}{2}(\mathbb{E}[X_1]+\mathbb{E}[X_N])=\frac{1}{2}\cdot 2 \cdot \frac{1}{p} = \frac{1}{p} \)

und

\( \text{Var} (\hat a_N) = \frac{1}{4}(\text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_N))=\frac{1}{4}\cdot2\cdot \frac{1-p}{p^2}=\frac{1-p}{2p^2}\).

Um anhand der Definition zu zeigen, dass der Schätzer nicht konstant ist, muss man zeigen, dass

\( \limsup_{N\to\infty} P_\theta(|\hat a_N - \frac{1}{p}| > \epsilon) \geq \delta > 0 \)

für ein festes \( \epsilon \).

Mit der Chebychev-Ungleichung folgt

\(  P_\theta(|\hat a_N - \frac{1}{p}| > \epsilon) \geq \frac{ \text{Var}(\hat a_N)}{\epsilon^2} = \frac{1-p}{2p^2\epsilon^2} > 0 \).

Damit hat man dann die untere Schranke.

Vielleicht kann das aber auch nochmal jemand verifizieren (oder ggf. korrigieren) der etwas mehr mit Stochastik zu tun hat :)