Question

Berechne ohne digitales Werkzeug: $$\left(\left(\dfrac{\sqrt{35}+\sqrt{7}}{\sqrt{28}}\right)^2-\dfrac{\sqrt{35}+\sqrt{7}}{\sqrt{28}}\right)^7$$

(So, es ist 12:05 Uhr und ich hoffe, es sind nun alle notwendigen Änderungen nachgetragen!)

Comments

Beachte: Eine versehentlich zu viel gesetzte Klammer wurde gelöscht.

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Die letzte 7 erscheint in einem anderen Zeichensatz als die anderen. Trotzdem richtig als Exponent?

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Ja, die 7 ist der Exponent für die Differenz (Bruch² - Bruch).

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Im Zähler des Bruches muss + stehen (entschuldigt bitte).

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Die nächste Korrektur? Jetzt bin ich raus…

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Im Zähler beider Brüche?

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Im Zähler des Bruches muss + stehen (entschuldigt bitte).

Nun, dann ist es einfach. Der Wert ist 1

Answer 1

Ich denke nicht, dass sich das wirklich "berechnen" lässt, aber das Ergebnis ist

\(-\frac{1}{\Phi^{21}}\), wobei \(\Phi\) wie üblich der goldene Schnitt \(\Phi\approx 1,618\) ist.

Unter Berücksichtung der Änderung gilt nach Kürzen mit \(\sqrt{7}\):

\((\Phi^2-\Phi)^7=(1+\Phi-\Phi)^7=1\).

Answer 2

\(((\frac{\sqrt{35}+\sqrt{7}}{\sqrt{28}})^2-\frac{\sqrt{35}+\sqrt{7}}{\sqrt{28}})^7\)

\(((\frac{\sqrt{5}+1}{2})^2-\frac{\sqrt{5}+1}{2})^7\)

\(((\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2})^2-\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2})^7\)

\((\frac{5}{4}+\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2})^7\)

\(1^7=1\)

Answer 3

Nun, das macht es leicht. In 35 und 28 steckt auch die 7, vereinfachen ergibt für die Brüche (√5 - 1)/2 und damit nach quadrieren und zusammenfassen als Ergebnis (2-√5)⁷ oder auch -1/(2+√5)⁷

Comments

Jumanji, gut angefangen aber ich habe Fehler in der Formulierung der Aufgabe gemacht.

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(2 - √5)^7

= 2^7 + 7·2^6·(-√5) + 21·2^5·(-√5)^2 + 35·2^4·(-√5)^3 + 35·2^3·(-√5)^4 + 21·2^2·(-√5)^5 + 7·2·(-√5)^6 + (-√5)^7

= 128 - 7·64·√5 + 21·32·5 - 35·16·5·√5 + 35·8·25 - 21·4·25·√5 + 7·2·125 - 125·√5

= 128 - 448·√5 + 3360 - 2800·√5 + 7000 - 2100·√5 + 1750 - 125·√5

= 12238 - 5473·√5

Kann man sowas nicht leichter berechnen?

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Im Zahler des Bruches hätte es + statt - heißen müssen (Entschuldigung).

Answer 4

Nach der jüngsten Korrektur der Aufgabe ist 7 dekorativ und der Wert ist 1.