Berechnen Sie alle komplexen Lösungen (in Polarform)

Question

Aufgabe:

(b) Berechnen Sie alle komplexen Lösungen (in Polarform) von \( z^{4}=-\frac{2}{\sqrt{3}}-2 j \).

Problem/Ansatz:

Ist die Aufgabe richtig gelöst worden, der Professor hat eine andere Lösung:

Text erkannt:

\( \text { 6.) } \begin{array}{rl} z^{4} & =-\frac{2}{\sqrt{3}}-2 j \quad \text { Polarform } 1 z^{4}=w \\ w & z \\ z & =-\frac{2}{\sqrt{3}}-2 j \\ |z| & =\sqrt{\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}+(-2)^{2}}=r \\ & =\sqrt{\frac{4}{3}+4} \\ & =\sqrt{\frac{4}{3}+\frac{12}{2}} \\ & =\sqrt{\frac{16}{3}} \end{array} \)
\( \begin{aligned} \operatorname{lm}(z) & <0, \text { also } \varphi=-\arccos \frac{x}{r} \\ \Rightarrow \varphi & =-\arccos \frac{-\frac{2}{\sqrt{3}}}{\sqrt{\frac{16}{3}}} \\ & =-\arccos \frac{-\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{4}{\sqrt{3}}} \\ & =-\arccos -\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{42} \\ & =-\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) \\ & =-\frac{2 \pi}{3} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} \omega & =\sqrt{\frac{16}{3}} \cdot e^{-\frac{2 \pi}{3} j} & z^{4} & =\left(\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot e^{\frac{-2 \pi}{3} ;}\right)^{4} \\ & =\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot e^{-\frac{2 \pi}{3} j} & & =\frac{256}{9} \cdot e^{\frac{8 \pi}{3} j} \end{aligned} \)

Comments

Probe gemacht? Mit welchem Ergebnis?

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Wie macht man denn die Probe? Darf keinen TR benutzen

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Du solltest eine Gleichung losen, prufe, ob sie erfüllt ist.

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Wie macht man eine Probe?

Man setzt die Lösung(en) für z in die Ausgangsgleichung ein und schaut, ob die Gleichung erfüllt ist.

Da du nur die Gleichung ohne TR lösen solltest kann man sogar für die Probe bei Bedarf den TR erlauben.

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\( \text { 6.) } \begin{array}{rl} z^{4} & =-\frac{2}{\sqrt{3}}-2 j \quad \text { Polarform } 1 z^{4}=w \\ w & z \\ z & =-\frac{2}{\sqrt{3}}-2 j \\ |z| & =\sqrt{\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}+(-2)^{2}}=r \\ & =\sqrt{\frac{4}{3}+4} \\ & =\sqrt{\frac{4}{3}+\frac{12}{2}} \\ & =\sqrt{\frac{16}{3}} \end{array} \)
\( \begin{aligned} \operatorname{lm}(z) & <0, \text { also } \varphi=-\arccos \frac{x}{r} \\ \Rightarrow \varphi & =-\arccos \frac{-\frac{2}{\sqrt{3}}}{\sqrt{\frac{16}{3}}} \\ & =-\arccos \frac{-\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{4}{\sqrt{3}}} \\ & =-\arccos -\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{42} \\ & =-\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) \\ & =-\frac{2 \pi}{3} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} \omega & =\sqrt{\frac{16}{3}} \cdot e^{-\frac{2 \pi}{3} j} & z^{4} & =\left(\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot e^{\frac{-2 \pi}{3} ;}\right)^{4} \\ & =\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot e^{-\frac{2 \pi}{3} j} & & =\frac{256}{9} \cdot e^{\frac{8 \pi}{3} j} \end{aligned} \)

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@melisad8

Hat sich an deinem Aufschrieb irgendetwas geändert im Vergleich zu oben?

Wenn du deine vermeintliche Lösung nicht mit meiner Kontrollieren kannst kann ich sagen du hast keine Lösung.

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Nein mein Beitrag wurde gemeldet, weil es nicht als Text angezeigt worden ist

Answer 1

Für die rechte Seite gilt $$ -\frac{2}{\sqrt{3}}-2j $$ daraus ergibt sich der Betrag zu $$ r = \sqrt{\frac{16}{3}} $$ und das Argument zu $$ \tan (\varphi ) = \frac{-2}{-\frac{2}{\sqrt{3}}} =  \sqrt{3} $$ Daraus ergibt sich \( \varphi = \frac{\pi}{3} \). Da die rechte Seite im 3'-ten Quadranten liegt, ergibt sich für das Argument durch Addition von \( \pi \) $$ \varphi = \frac{4}{3} \pi  $$

Insgesamt gilt also $$ z^4 = \sqrt{\frac{16}{3}} e^{i \cdot \frac{4}{3} \pi} $$ Und weil die komplexe \(e\)-Funktion \( 2 \pi \) periodisch ist, ergeben sich die folgenden 4 Lösungen durch Wurzel ziehen

$$ z = \left( \frac{16}{3} \right)^\frac{1}{8} \cdot e^{ i \left( \frac{\pi}{3} + \frac{k}{2} \pi\right) } $$ mit \( k = 0,1,2,3 \)

Answer 2

Du weißt des es 4 Lösungen gibt z1, z2, z3 und z4. Das kann ich nichtmal bei dir erkennen

z^4 = - 2/√3 - 2·j

|- 2/√3 - 2·i| = 4/3·√3

tan(φ) = (- 2)/(- 2/√3) = √3 → φ = 4/3·pi

z^4 = 4/√3·e^{j·(4/3·pi + k·2·pi)}

z = (16/3)^{1/8}·e^{j·(1/3·pi + k·1/2·pi)}

Die Lösungen sind also:

z1 = (16/3)^{1/8}·e^{j·1/3·pi}
z2 = (16/3)^{1/8}·e^{j·5/6·pi}
z3 = (16/3)^{1/8}·e^{j·4/3·pi}
z4 = (16/3)^{1/8}·e^{j·11/6·pi}