Argument komplexe Zahl bestimmen Winkel

Question

Text erkannt:

Aufgabe 9 (5 Punkte) Gegeben seien die komplexen Zahlen, \( z_{1}=1-\mathrm{i} \) und \( z_{2}=(1+\mathrm{i})(1-\sqrt{3} \mathrm{i}) \).
(a) Schreiben Sie \( z_{1} \) in Polarkoordinaten mit Argument in \( [0,2 \pi) \).
\( z_{1}=\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{7 \pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{7 \pi}{4}\right)\right) \)
(b) Bestimmen Sie \( \left|z_{2}\right| \) und \( \arg \left(z_{2}\right) \in[0,2 \pi) . \quad\left|z_{2}\right|=2 \sqrt{2} \quad \) und \( \quad \arg \left(z_{2}\right)=\frac{23}{12} \pi \)
(c) Schreiben Sie \( \frac{z_{2}}{z_{1}^{3}} \) in der Form \( a+b \) i mit \( a, b \in \mathbb{R} . \quad \frac{z_{2}}{z_{1}^{3}}= \)

Hallo, leider verstehe ich nicht ganz wie man auf das Argument der b kommt…

LG

Answer 1

(1+i) hat das Argument 45°=π/4, und (1-i√3) hat das Argument 300°= 5π/3 .

Wenn man (1+i) und (1-i√3) multipliziert, muss man beide Argumente addieren.

Answer 2

Aloha :)

Überlege dir, welche Koordinaten die beiden komplexen Zahlen in der Gauß'schen Zahlenebene haben und achte besonders auf die Vorzeichen, damit klar ist, in welchem Quadranten sich die Punkte befinden, sodass die Vorzeichen der Winkel klar sind:$$1+i\to\binom{1}{1}\quad;\quad1-\sqrt3i\to\binom{1}{-\sqrt3}$$Für diese beiden Punkte kannst du die Polar-Darstellung hinschreiben:$$\binom{1}{1}\to\quad r=\sqrt2\;;\;\varphi=\arctan(1)=45^\circ=\frac\pi4$$$$\binom{1}{-\sqrt3}\to\quad r=2\;;\;\varphi=-\arctan(\sqrt3)=-60^\circ=-\frac{\pi}{3}$$

Nun kannst du die Multiplikation in Polarkoordinaten durchführen:$$(1+i)\cdot(1-\sqrt3i)=\sqrt2\,e^{i\,\frac\pi4}\cdot2\,e^{-i\,\frac\pi3}=2\sqrt2\cdot e^{i\left(\frac\pi4-\frac\pi3\right)}=2\sqrt2\cdot e^{-\frac{\pi}{12}i\,}$$

Da der Polarwinkel im Intervall \([0;2\pi)\) angegeben werden soll, addieren wir \(2\pi\) hinzu:$$\operatorname{arg}(z_2)=-\frac{\pi}{12}+2\pi=\frac{23}{12}\,\pi$$

Comments

Überlege dir,

Erübrigt sich ja nach dem Vorrechnen bereits.

---

Erübrigt sich ja nach dem Vorrechnen bereits.

Das schlussfolgerst du wie immer falsch. Ein selber Mitdenken ist ausdrücklich auch bei vorgerechneten Aufgaben erwünscht.

Alternativ kann man vorher ausmultiplizieren

(1 + i)·(1 - √3·i) = 1 - √3·i + i + √3 = √3 + 1 - (√3 - 1)·i ≈ 2.732 - 0.732·i

Jetzt sollte klar sein, dass der Winkel im IV. Quadranten liegen sollte.

Und jetzt kann man den Winkel berechnen.

tan(α) = - (√3 - 1)/(√3 + 1) = √3 - 2

α = -pi/12 + 2·pi = 23/12·pi

---

Entschuldige, dass ich eure Naivität nicht teile. Es wird sich wohl kaum jemand irgendetwas überlegen, wenn er im selben Atemzug die Lösung vorgesetzt bekommt.

Und nur, weil es erwünscht ist, heißt es nicht, dass man das auch tut. Ein Mitdenken sollte allerdings nicht erwünscht sein, sondern erforderlich. Ist es hier aber eben nicht.

---

Genau, glaubt Ihr ernsthaft, die Aufforderung "überlege mal selbst, ich mach's schonmal für Dich" führt zum Mitdenken? Widerspricht jeder Lehrerfahrung.

---

2 Markierungen:
Beleidigend (abakus “"Das schlussfolgerst du WIE IMMER falsch". Gehts noch???”)
Bemerkung (nudger “"wie immer": unnötige Polemik.”)

Das ist eine Tatsache. Apfelmännchen lässt einen sinngemäßen Kommentar immer wieder mal fallen.

Und etliche andere sind ja offensichtlich auch der Auffassung und schlussfolgern ebenso.

Wer hat die Meldungen jetzt entfernt?

---

"immer wieder mal" eine Bemerkung fallen lassen ist was anderes als "wie immer falsch schlussfolgern". Die Schlussfolgerung ist hier - das ist eine Tatsache - richtig, denn das Selbst-überlegen erübrigt sich zweifellos (ob das erwünscht ist oder nicht, spielt dabei keine Rolle).