Funktionsschar f(x)=x³+kx²+2 Zeige, dass es für alle Werte von k einen Extrempunkt P(0|2) gibt.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion: f(x)=x^3+kx^2+2

Zeigen Sie, dass es für alle Werte von k einen Extrempunkt gibt mit P(0|2).


Ich muss dann ja erstmal ableiten und gleich 0 setzen.

f´(x)=3x^2+k=0

Jetzt muss ich glaub ich pq-Formel einsetzen oder?

Ich komme da nicht weiter. Kann mir jemand das vorrechnen?

Answer 1

f(x)=x³+kx²+2

1. Ableitung ist: f'(x)=3*x²+2*k*x

Null setzen zum Finden der Extrempunkte: 3*x²+2*k*x = 0

// x ausklammern

x*(3*x+2*k) = 0

Die erste Nullstelle ist bei x₁ = 0

Die zweite Nullstelle (den Term in Klammern null setzen):

3*x+2*k = 0    | - 2*k

3*x = -2*k       | :3

x = -2/3*k

Die zweite Nullstelle ist bei x₂ = -2/3*k

 

Dich interessiert die erste Nullstelle mit x₁ = 0.

Dieses setzt du in die Funktionsgleichung ein und erhältst:

f(x)=x³+kx²+2

f(0)=0³+k*0²+2 = 2

→ P(0 | 2)

 

Hier sind einige Funktionsgraphen mit Beispielwerten k=1, k=2, k=-3. Alle Funktionen haben einen Extrempunkt bei P(0|2):

 

Da hier ein Parameter k gegeben ist, der die Funktion verändert, fällt das ganze Thema unter das Stichwort: Funktionsscharen bzw. Kurvenscharen.

 

Comments

Wie lautet der Funktionswert bei f(-2/3k)=(-2/3k)^3+k*(-2/3k)^2+2 = y?

-2/3k ist dabei der x Wert des zweiten Extrempunktes. Den muss ich in die Ausgangsfunktion einfügen um den y Wert zu bekommen. f(-2/3k)=(-2/3k)^3+k*(-2/3k)^2+2 .

Kann wer den Y Wert ausrechnen und sagen was er dabei gemacht hat also vorrechnen.

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$$ f \left( \frac { - 2 } { 3 } k \right) = \left( - \frac { 2 } { 3 } k \right) ^ { 3 } + k ^ { * } \left( - \frac { 2 } { 3 } k \right) ^ { 2 } + 2 = - \frac { 8 } { 27 } k ^ { 3 } + \frac { 4 } { 9 } k ^ { 3 } + 2 = \frac { 4 } { 27 } k ^ { 3 } + 2 $$

Das ist das Endergebnis, es lässt sich nicht weiter zusammenfassen.

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aber das kann doch schlecht der y Wert sein oder??

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Doch, der y-Wert (also der Extrempunkt) hängt vom Parameter k ab. Er befindet sich nicht immer an der gleichen Stelle. Siehe auch Grafik oben in der Antwort.

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das heißt also der erste Extrempunkt liegt bei 0|2 und der zweite bei -2/3k | 4/27k³+2 ?

Wenn man von der Funktion ausgeht x³+kx²+2

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Korrekt. Das kannst du im Übrigen selbst testen. Nimm dir einen Beispielwert für Parameter k und setze ihn ein.

Bei den Beispielgraphen haben wir k=2 (roter Graph).

Extrempunkt:

P(-2/3k | 4/27k³+2) → P(-2/3*2 | 4/27*2³+2) → P(-4/3 | 32/27+2) → P(-1,333 | 3,185)

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Ok danke ihr seid die besten. Ich habe nun den x- und y-Wert aller Extrempunkte jeweils in Abhängigkeit von k. Löse den x-Wert nach k auf und setze das Ergebnis in den y-Wert für k ein. Du erhältst so eine Funktionsgleichung y(x).

Heißt das x=-2/3k (ist ja X Wert des Extrempunktes) /-2/3

-2/3=k

Y Wert ist ja 4/27k^3+2

Also 4/27*-2/3^3+2 ?

Also ist dann die Funktionsgleichung y=4/27*-2/3^3+2?