Normalverteilung; Wahrscheinlichkeit innerhalb eines Intervalls

Question

Aufgabe:

Eine Kaffeemaschine gestattet es, die mittlere Ausgabemenge u einzustellen. Die Ausgabe-
menge X sei normalverteilt mit dem Erwartungswert μ und der Standardabweichung σ = 10 ml.
a) Hans stellt u = 250 ml als Ausgabemenge ein. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gibt die Maschine mehr als 260 ml aus? Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Ausgabemenge zwischen 240 und 260 ml? Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden weniger als 230 ml ausgegeben?
b) Bestimmen Sie, auf welchen Ausgabewert μ Hans die Maschine einstellen muss, damit die tatsächliche Ausgabemenge den Wert von 250 ml nur in 1% der Fälle überschreitet.

Problem/Ansatz:

Ich hätte bei der b) jetzt gedacht, dass ich P(X≤250) ≤ 0,01 rechnen muss. Aber ich verstehe nicht so ganz, wie ich dann weiter rechnen muss.

P(X≤250) ≤ 0,01

φ((250-μ)/10) ≤ 0,01

Wie würde man dann weiterrechnen? Wie kann ich μ ermitteln? Danke im voraus!

Comments

dass ich P(X≤250) ≤ 0,01 rechnen muss

Nein, sondern entweder P(X ≥ 250) = 0,01 oder P(X ≤ 250) = 0,99

Answer 1

a) Die Standardnormalverteilungstabelle sagt, dass etwa 84 % der Verteilung im Intervall von minus unendlich bis 1 Standardabweichung über dem Erwartungswert liegt. Also etwa 16 % darüber. Und 84 - 50 % = 34 % zwischen Erwartungswert und 1 Standardabweichung darüber, bzw. 2 * 34 % zwischen 1 Standardabweichung unter und 1 Standardabweichung über dem Erwartungswert.

b) Der Tabelle kann man auch das 99-%-Quantil der Verteilung entnehmen, nämlich etwa 2,33 Standardabweichungen über dem Erwartungswert.

Answer 2

P(X ≥ 250) = 0.01
1 - P(X ≤ 250) = 0.01
P(X ≤ 250) = 0.99
Φ((250 - μ)/10) = 0.99
(250 - μ)/10 = Φ^{-1}(0.99)

mit Φ^{-1}(0.99) = 2.326

(250 - μ)/10 = 2.326 --> μ = 226.74

Skizze