<!DOCTYPE html> Ausführliche Lösung der Aufgabe body { font-family: Arial, sans-serif; line-height: 1.6; margin: 20px; } h1, h2, h3 { color: #333; } table { width: 100%; border-collapse: collapse; margin: 20px 0; } th, td { border: 1px solid #ddd; padding: 8px; text-align: left; } th { background-color: #f2f2f2; } Ausführliche Lösung der Aufgabea) Risiko des Herstellers und Entscheidungsregel bei 2,5% Irrtumswahrscheinlichkeit
Ziel: Der Hersteller möchte das Risiko minimieren, fälschlicherweise abgelehnt zu werden, obwohl er tatsächlich mindestens 93% einwandfreie Chips liefert (Fehler 1. Art).
Hypothesen:
- Nullhypothese (H₀): ( p ≥ 0.93 )
- Alternativhypothese (H₁): ( p < 0.93 )
Modellierung:
- ( n = 1000 ), ( p = 0.93 )
- Erwartungswert (μ):
[ μ = n ċ p = 1000 ċ 0.93 = 930 ] - Standardabweichung (σ):
[ σ = &sqrt;n ċ p ċ (1-p) = &sqrt;{1000 ċ 0.93 ċ 0.07} ≈ 8.07 ]
Entscheidungsregel (linksseitiger Test):
Der Hersteller wählt einen Signifikanzniveau von ( α = 2.5% ). Der kritische Wert ( k ) wird so bestimmt, dass:
[ P(X ≤ k | p=0.93) = 0.025 ]
Unter Normalapproximation:
[ k = μ + z_{α} ċ σ = 930 - 1.96 ċ 8.07 ≈ 914.18 ]
Da die Anzahl der Chips ganzzahlig ist, wird auf ( k = 914 ) abgerundet.
Entscheidungsregel:
Lehne ( H₀ ) ab, wenn weniger als 914 einwandfreie Chips gefunden werden.
Risiko: Die Wahrscheinlichkeit, dass der Hersteller fälschlicherweise abgelehnt wird, beträgt 2,5%.
b) Einwand des PC-Händlers
Der Händler ist mit der Regel des Herstellers nicht einverstanden, weil:
- Die Entscheidungsregel des Herstellers minimiert den Fehler 1. Art (falsche Ablehnung guter Ware).
- Dadurch steigt jedoch der Fehler 2. Art (falsche Annahme schlechter Ware), d.h., der Händler könnte Chargen akzeptieren, die tatsächlich weniger als 93% einwandfreie Chips enthalten.
- Der Händler möchte sein Risiko (Fehler 2. Art) reduzieren, indem er eine strengere Entscheidungsregel fordert.
c) Entscheidungsregel des Händlers bei 97,5% Sicherheit
Ziel: Der Händler möchte mit 97,5% Sicherheit garantieren, dass die Chips mindestens 93% einwandfrei sind. Dies entspricht einem Signifikanzniveau von 2,5% für den Fehler 1. Art aus Händlersicht.
Hypothesen:
- Nullhypothese (H₀): ( p ≥ 0.93 )
- Alternativhypothese (H₁): ( p < 0.93 )
Kritischer Wert (rechtsseitige Sicherheit):
Der Händler fordert eine höhere Schwelle, um ( H₀ ) abzulehnen.
[ k = μ - z_{α} ċ σ = 930 - 1.96 ċ 8.07 ≈ 921.93 ]
Aufgerundet auf ( k = 922 ).
Entscheidungsregel:
Lehne ( H₀ ) ab (Reklamation), wenn weniger als 922 einwandfreie Chips gefunden werden.
Sicherheit: Der Händler hat eine 97,5%ige Garantie, dass die Chips den Standard erfüllen, wenn die Stichprobe über 922 liegt.
d) Vereinbarte Reklamationsgrenze und Risiko für den Hersteller
Vereinbarte Grenze: Die Reklamationsgrenze liegt bei ( μ - σ = 930 - 8.07 ≈ 921.93 ), also 922 Chips (ganzzahlig).
Risiko für den Hersteller:
Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis unter 922 liegt, obwohl ( p = 0.93 ) gilt:
[ Z = \frac{922 - 930}{8.07} \approx -0.99 ]
Aus der Standardnormalverteilungstabelle:
[ P(X \leq 921 | p=0.93) \approx P(Z \leq -0.99) = 0.1611 \quad (\text{ca. 16,11%}) ]
Ergebnis:
Das Risiko des Herstellers, fälschlicherweise reklamiert zu werden, beträgt 16,11%.
Zusammenfassung der Ergebnisse:
| Teil | Entscheidungsregel | Risiko/Wahrscheinlichkeit |
|---|
| a) | < 914 Chips → Ablehnung | 2,5% (Fehler 1. Art) |
| c) | < 922 Chips → Reklamation | 2,5% (Sicherheit 97,5%) |
| d) | < 922 Chips → Reklamation | 16,11% |
Hinweis: Die Werte können je nach Rundung leicht variieren. Die Normalapproximation ist aufgrund der großen Stichprobe ( n = 1000 ) gerechtfertigt.
