Begründen Sie Ihre Antwort durch Rechnung oder eine geeignete Argumentation.

Question

Denkt ihr meine Lösung würde für den Professor reichen als Argumentation?

Text erkannt:

Aufgabe 11 Es seien
\( v_{1}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right), \quad v_{3}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right) \)

Entscheiden Sie, ob das System \( \left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) linear unabhängig ist. Begründen Sie Ihre Antwort durch Rechnung oder eine geeignete Argumentation.

Text erkannt:

Nr.le.)
\( v_{1}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right), \quad v_{3}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right) \)
\( \begin{array}{l} \underset{\sim}{r} \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)+\underset{0}{s} \cdot \underset{0}{s} \cdot\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)+\underset{0}{1} \underset{\sim}{t} \cdot\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right)=\overrightarrow{0} \\ t=0 \\ r+s+2 t=0 \\ r-s+3 t=0 \\ 2 r+2 s-2 t=0 \\ r s t \\ \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 0 \\ 2 & 2 & -2 & 0 \end{array}\right)< \\ \sim\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) 1 \cdot 2 \\ \sim\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \text { I-I } \\ \sim\left(\begin{array}{ccc|c} r & s & t & \\ 2 & 2 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \end{array} \)
\( r s t \) düfen nicht alle \( O \) ergeben
Wenn für alle variablen \( O \) rauscommt \( \rightarrow \) lineare Unabhingigsceit
\( \begin{aligned} \text { III. } t & =0 \\ \text { II. }-4 s & =0 \quad \mid:(-4) \\ s & =0 \\ \text { I. } 2 r & =0 \quad 1: 2 \\ r & =0 \end{aligned} \)

Fir \( r, s \) nd \( t \) nomrt überall \( O \) raus, aus dierem Grund ist das Syfsem \( \left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) linear inabhíngig.

Answer 1

Du hast ja schon richtig erkannt das du 0 mal v3 brauchst.

Die Gleichung

r * v1 + s * v2 = 0

hat keine triviale Lösung, wenn v1 und v2 linear abhängig sind. Das wäre der Fall, wenn sie vielfache voneinander sind. Daher kann es hier nur die Triviallösung r = s = 0 geben.

Das wäre eine nicht ganz so aufwändige Argumentation wie deine Rechnung.

Etwas noch zu Deiner Rechnung.

Wenn du weißt dass t = 0 gilt, dann kannst du das LGS gleich vereinfachen indem du für t = 0 einsetzt. Das LGS vereinfacht sich zu

r + s = 0
r - s = 0
2r + 2s = 0

Die dritte Gleichung ist ein Vielfaches der ersten Gleichung und kann gestrichen werden. Die anderen beiden Gleichungen haben nur die Triviallösung r = s = 0.

Weiterhin weißt du, wie nach dem Gauss die Zeilenstufenform aussehen sollte. Normal steht in der zweiten Zeile an erster Stelle auch eine Null. Das ist hier aber nicht so gravierend. Trotzdem solltest du das nochmal üben.

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Vielen Dank für die Tipps und die Erklärung

Answer 2

Ja, das reicht. Aber wozu Gauß? Die drei Gleichungen kann man praktisch im Kopf nach r,s,t auflösen. Schau Dir das mal an und übe das.

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Jaa das stimmt, hab nicht dran gedacht, vielen Dank!