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Aufgabe:

Gesucht ist ein Polynom 4. Grades f(x). Der Graph der Funktion g(x) = 4x2 - x + 8 schneidet den Graphen von f(x) in zwei Punkten und berührt ihn in einem dritten Punkt auf der y-Achse. Die x-Werte der beiden Schnittpunkte liegen symmetrisch zur y-Achse. Die Krümmung von f an der Stelle x=1 beträgt -1,5. Die Ableitung von f besitzt an der Stelle x=\( \frac{\sqrt{6}}{2} \)   einen Extremwert.


Problem/Ansatz:

e und d kann ich ja bestimmen, aber danach komme ich nicht weiter.

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Du brauchst 5 Bedingungen. Welche hast Du gefunden?

Falls die zweite Ableitung gemeint sein sollte, dann muss man das (und nicht "Krümmung") auch schreiben.

Das ist übrigens eine sehr schöne CAS/MMS Aufgabe.

Das händische Rechnen ist hier recht aufwendig. Der Schüler wird hier nur gefordert die Bedingungsgleichungen zu notieren und das Lösen derselben macht dann das CAS/MMS.

Das händische Rechnen ist hier nicht wesentlich aufwendiger als sonst, falls mit Krümmung die zweite Ableitung gemeint ist.

Gemeint ist die zweite Ableitung. Ich komme aber nicht auf die Lösung. Was müßte ich in Geogebra eingeben?

Wenn es nicht ausdrücklich gefordert ist, musst du nichts eingeben.
Offenbar ist \(f-g\) ein Polynom vierten Grades, das an der Stelle \(x_0=0\) eine doppelte Nullstelle hat. Außerdem gibt es zwei weitere Nullstellen an den Stellen \(x_1=s\), sowie \(x_2=-s\) mit einem noch zu bestimmenden \(s\).
Es gilt also \(f(x)=c\cdot x^2\cdot(x^2-s^2)+g(x)\) mit geeignetem \(c\).
Die Bedingungen \(f^{\prime\prime}(1)=-\frac32\) und \(f^{\prime\prime}(\frac12\sqrt6)=0\) liefern ein relativ leicht zu lösendes nichlineares Gleichungssystem für \(c\) und \(s\).

Das ist aber clever, wie kommt man auf so etwas?

So konnte ich s und c ausrechnen, danke.

1 Antwort

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Bedingungen

f(0) = g(0)
f'(0) = g'(0)
f(k) = g(k)
f(-k) = g(-k)
f''(1) = -1.5 [Ich werte Krümmung so, dass die 2. Ableitung gemeint ist.]
f''(1/2·√6) = 0

Ich erhalte die Funktion

f(x) = 1/4·x^4 - 9/4·x^2 - x + 8

Skizze

blob.png

Avatar vor von 491 k 🚀

Du könntest es wie folgt in Geogebra eingeben. Beachte, dass du in Zeile 9 natürlich nicht die Gleichungen ausschreiben, sondern Zeilenverweise wie #3 benutzen darfst.

blob.png

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