Beweis des Satzes von Pythagoras

Question

Ein Viereck, das kein Quadrat ist, habe zwei zueinander senkrechte Seiten sowie zwei gleichlange, zueinander senkrechte Diagonalen. Außerdem soll die Länge |\( \overline{AB} \)| gleich dem Abstand des Punktes C von AB sein. Beweise mit diesem Viereck den Satz des Pythagoras, indem du dessen Fläche auf zwei Arten berechnest.

Comments

Nach 40 Aufrufen ohne Antwort habe ich eine Ergänzung gegeben.

---

Hallo

ich bin zu blöd um mir so eine Viereck, das kein Quadrat ist vorzustellen, hast du einen TiP?

lul

---

Kann man sich ja auch nicht vorstellen, denn ein Viereck, von denen zwei Seiten gleich lang sind, die orthogonal zueinander sind und deren Diagonalen ebenfalls gleichlang und orthogonal zueinander sind, nennt man Quadrat.

Manchmal würden mich die Gedankengänge von Roland interessieren, wenn er solche Aufgaben einstellt...

---

Je nachdem, wie man "zueinander senkrecht" definiert, wäre folgende Figur möglich:

---

Schon blöd, wenn man gewohnheitsbedingt nur an konvexe Vierecke denkt.

---

Stimmt, aber ein Beweis für den Satz des Pythagoras erschließt sich mir immer noch nicht.

---

Ich ziehe die Aufgabe zurück und verspreche, nie wieder meine Aufgaben zu stellen.

---

Was war denn genau deine Intention bei dieser Aufgabe?

---

Die beiden gleichlangen Seiten waren Unsinn. Meine Intention enthielt dieses Viereck:

Dabei soll die Länge |\( \overline{AB} \)| gleich dem Abstand des Punktes C von AB sein.

---

So gestellt finde ich die Aufgabe ziemlich gut.

---

Danke für die Zeichnung, aber ich seh nicht "zwei gleichlange, zueinander senkrechte Seiten"

lula

---

Den Teil hat R. ja auch aus der Aufgabenstellung entfernt.

---

Die Aufgabe hat jetzt (hoffentlich) ihre beabsichtigte Fassung. Für meine Experimente im Formulieren entschuldige ich mich.

Answer 1

ein Beweis für den Satz des Pythagoras erschließt sich mir immer noch nicht.

Mir auch nicht. Sowohl mit Flächenaddition als auch mit Flächensubtraktion erhält man A = a².

Answer 2

Nach der Figur unten gilt:

1/2 * a * a + 1/2 * d * d = 1/2 * e * e → a^2 + d^2 = e^2

Comments

Eine dafür Begründung fehlt völlig.

---

Es ist kein Hilfeersuchen, sondern eine Knobelaufgabe.

Es gibt also keinen Grund für einen kompletten Lösungsweg, denn der nimmt anderen den Spaß am Knobeln.

Für mich waren die Überlegungen hinter dem angedeuteten Lösungsweg von MC nach kurzer Betrachtung der Abbildung verständlich.

Das nachvollziehen zu können war für mich die Befriedigung an dieser Aufgabe.

---

Vorweg : In den Bezeichnungen und Lagebeziehungen verweise ich auf Rolands Skizze.

Tatsächlich hatte ich mich in Rolands Änderungen etwas verheddert : Ich hatte gelesen, dass R. seine ursprünglich gemachten Voraussetzungen über die zwei Seiten des Vierecks (gleiche Länge und Orthogonalität) komplett zurückgezogen hätte, und nur noch die Voraussetzungen über die Diagonalen (gleiche Länge und Orthogonalität) sowie über den Abstand von C zu AB stehen gelassen hätte.
(Ein solches Viereck bezeichne ich als R-Viereck.)

In dieser Form hatte ich seine Aufgabenstellung als "ziemlich gut" bezeichnet.

(Es wäre jetzt eigentlich zunächst zu prüfen, ob die zusätzliche Voraussetzung eines rechten Winkels bei A noch zu erfüllen ist.)

Mit diesen abgespeckten Voraussetzungen erfolgt die Lösung der Aufgabe in drei Schritten :

1. Nachweis, dass ein R-Viereck bei A einen rechten Winkel hat
2. Nachweis, dass dann AB^2 + AD^2 = BD^2 ist (hat MC gemacht).
3. Umgekehrt : Nachweis, dass sich jedes rechtwinklige Dreieck ABD durch einen Punkt C zu einem R-Viereck ergänzen lässt.

---

Es wäre jetzt eigentlich zunächst zu prüfen, ob die zusätzliche Voraussetzung eines rechten Winkels bei A noch zu erfüllen ist.

Sie ist nicht nur noch zu erfüllen, der rechte Winkel bei \(A\) ist eine direkte Folge der drei Bedingungen:
1.) Diagonalen gleich lang
2.) Diagonalen stehen orthogonal zu einander
3.) Der Abstand von \(C\) zu \(AB\) ist gleich \(|AB|\)
==> daraus folgt: der Winkel bei \(A\) ist ein rechter
.. und sollte zusätzlich der Winkel bei \(B\) ein rechter sein, so wird daraus ein Quadrat.

@Roland: dieses Viereck ist ein inspirierendes Ding - Danke dafür!

---

Es freut mich, dass meine Ausführungen dich dazu gebracht haben, das Ding inspirierend zu finden.

Dann interessiert vielleicht auch noch Folgendes :
Nicht nur folgt aus den Eigenschaften 1.) bis 3.) eines R-Vierecks die Eigenschaft
4.) Das Viereck ist bei A rechtwinklig,
wie ich oben bereits schrieb, sondern allgemein ziehen irgend drei dieser vier Eigenschaften die jeweils noch fehlende nach sich.

Answer 3

\(\overline{AD} +\overline{DF}=\overline{AB}=a\)

Das Dreieck CDF hat die Fläche \(0,5\cdot \overline{DF}\cdot \overline{CF}\)

\(\overline{CE} +\overline{CF}=\overline{AB}=a\)

\(\overline{BE}=a\)

Das Dreieck BCE hat die Fläche \(0,5\cdot \overline{EC}\cdot \overline{BE}\)

Das Viereck ABEF ist ein Quadrat.

1.)Das Diagonalenviereck ABCD hat somit die Fläche \(a^2-(0,5\cdot \overline{DF}\cdot \overline{CF}+0,5\cdot \overline{EC}\cdot \overline{BE})\)

\(\overline{AC}=e\)      \(\overline{BD}=f\)

2.) Das Diagonalenviereck ABCD hat eine Fläche von \(0,5\cdot \overline{AC} \cdot \overline{BD}\)

Somit gilt der Satz des Pythagoras.

Comments

In R.s Aufgabenstellung wird kein rechter Winkel bei A vorausgesetzt.

---

In R.s Aufgabenstellung wird kein rechter Winkel bei A vorausgesetzt.

Roland schrieb doch, dass das Viereck zwei zueinander senkrechte Seiten haben sollte und veröffentlicht ein Bild, bei dem man näherungsweise einen rechten Winkel bei A und nicht bei B, C oder D sieht.

Jedes Viereck, bei dem ein Winkel rechtwinklig ist, könnte man jedoch so beschriften, dass dieser Winkel bei A liegt?

Und man könnte es auch so beschriften, dass der Abstand vom Punkt C zur Gerade auf der A und B liegen, ebenso groß wie der Abstand von A und B ist.

Habe ich da ansonsten einen Denkfehler?

---

Habe ich da ansonsten einen Denkfehler?

Auf jeden Fall eine ignorante Art, längst geklärte Sachverhalte nicht zur Kenntnis zu nehmen.

---

Ich ziehe diesen Kommentar nach Prüfung zurück.