die Lösungen dieser Gleichung bilden in der Zahlenebene ein Quadrat

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bestimme die Parameter und die unbekannten Lösungen. Es sind nur reelle Parameterwerte in Betracht zu ziehen.

Text erkannt:

Die vier Lösungen der Gleichung $z^{4}-4 z^{3}+a z^{2}+b z+c=0$ bilden in der Zahlenebene ein Quadrat, von dem eine Ecke im Nullpunkt liegt.

Problem/Ansatz:

Woher weiss ich wie das Quadrat orientiert ist?

Comments

Was für eine Orientierung? Ein Quadrat hat so etwas nicht. Es geht nur um die vier Lösungen. Beachte, dass mit $z$ auch $\bar z$ eine Nullstelle ist.

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ich weiss doch nur, dass c=z_1=0 ist.

ab hier komme ich nicht mehr weiter

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Der Schlüssel dazu sind wieder die beiden komplexen Lösungen, von denen eine die konjugiert komplexe der anderen ist.

Answer 1

Ich gehe in meiner Antwort von einem gewissen algebraischen Kenntnisstand aus. Wenn du den nicht hast (hast ja auch keine Infos gegeben), musst du wohl auf einem "holprigerem" Weg zur Lösung kommen.

Ein ganz wichtiger Fakt aus der Algebra der reellen und komplexen Zahlen ist:

Sei $p$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten. Dann sind die Nullstellen entweder reell oder kommen in konjugierten Paaren (d.h. ist $a+bi$ eine Nullstelle von $p$, dann auch $a-bi$).

Daraus folgt unmittelbar: Eine der Diagonalen deines Quadrats muss die reelle Achse sein, die andere muss parallel zur imaginären Achse sein.

Die einzigen Quadrate, die du mit den Nullstellen also bilden kannst, sind von der Form $Q=\{0,\alpha+\alpha i,\alpha-\alpha i,2\alpha\}$ für ein $\alpha\in\mathbb{R}$. Bemerke, dass das Vorzeichen von $\alpha$ angibt, ob das Quadrat links oder rechts vom Ursprung wächst.

Zurück zum Polynom: Die Nullstellenzerlegung gibt vor, dass $p(x)=r\cdot x\cdot (x^2-2\alpha x + 2\alpha^2)\cdot(x-2\alpha)$. Der Leitkoeffizient gibt sofort vor, dass $r=1$ ist, und $c=0$ bekommst du schon geschenkt. Durch ausmultiplizieren und vergleichen mit dem $x^3$-Koeffizienten findest du $\alpha$ heraus, und damit dann $a$ und $b$.

Comments

Daraus folgt unmittelbar: Eine der Diagonalen deines Quadrats muss die reelle Achse sein, die andere muss die imaginäre Achse sein.

Meinst Du nicht eher parallel zur y-Achse?

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Das stimmt, und hatte ich unglücklicherweise genau dann korrigiert, während du den Kommentar geschrieben hast :)

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wie folgt unmittelbar aus dem wichtigen Fakt, dass eine Diagonale die reelle Achse und die andere parallel zur imaginären Achse sein muss?

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Skizze gemacht? Anleitung siehe andere Antwort.

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jetzt hab ichs verstanden :))).

Answer 2

Beachte die Hinweise oben. Skizze mit zwei konjugiert komplexen Nullstellen. Beachte, ein Quadrat hat vier rechte Winkel. Die Lage der vierten (reellen) Nullstelle ist dann auch klar. Polynomdivision und Koeffizienten vergleichen.

Ich komme auf a=6 und b=-4. Etwas Durchhaltevermögen ist schon nötig.

Answer 3

Nehmen wir mal an, die Lösungen der Gleichung wären

z = 0 ; z = 2·k ; z = k ± k·i

Dann hätten wir die Gleichung

z·(z - 2·k)·(z - (k - k·i))·(z - (k + k·i)) = 0

z⁴ - 4·k·z³ + 6·k²·z² - 4·k³·z = 0

Ein Vergleich mit der angegebenen Gleichung
z⁴ - 4·z³ + a·z² - b·z + c = 0
liefert k = 1 und damit a = 6 ; b = - 4 ; c = 0

Skizze

Plotlux öffnen

P(0|0)P(1|-1)P(2|0)P(1|1)Zoom: x(-1…3) y(-1,5…1,5)

Comments

Kann es sein, dass die Variable $a$ hier doppelt belegt ist? Und woher kommt $k$?

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Es ist ja auch schon alles gesagt, aber für ein paar Punkte kann man es nochmal vorrechnen. Damit's für den Leser nicht zu einfach ist, verändert man halt die Bezeichnungen.

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Wenn es nur veränderte Bezeichnungen wären. Den Kommentar von Arsinoe halte ich für erheblich.

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Klar, nicht nur verändert, sondern fatal verändert, so dass es noch nicht mal innerhalb der Lösung konsistent ist.

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Ich habe meine ersten a's auch noch zu k's gewandelt.

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a = - 4 ; b = 6 ; c = 0

Müsste das nicht a = 6 ; b = -4 ; c = 0 lauten?

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Im selbst gestrickten Bezeichnungsdschungel verirrt und trotz bekannter Kontrolllösung auf ein falsches Ergebnis gekommen.

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Müsste das nicht a = 6 ; b = -4 ; c = 0 lauten?

Du hast natürlich recht. Auf dem Handy verliert man leider komplett die Übersicht.