Stimmt es, dass nicht alle Wendepunkte eine waagerechte Tangente haben?

Question

Aufgabe:

Stimmt es, dass nicht alle Wendepunkte eine waagerechte Tangente haben?

Also es gibt auch Wendepunkte, in denen die Steigung nicht 0 ist?

Gibt es bei e-Funktionen und ganzrationalen Funktionen keine anderen Arten von Wendepunkten?

Answer 1

Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente nennt man auch Sattelpunkt.

Das ist also ein Spezialfall. Die meisten Wendepunkte haben tatsächlich keine waagerechte Tangente.

~plot~ 0.05x^3-x;-x;{0|0} ~plot~

Comments

Und gibt es außer HOP und TIP an denen der Graph eine Waagerechte Tangente haben kann, z. B. Randextrema?

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Lokale Extrema berechnest du, indem du die erste Ableitung gleich null setzt. Damit kannst du im Zweifel auch ein Randextremum ermitteln, wenn sich die Extremstellen zufällig eben auf dem Rand befinden. Ansonsten hat man aber an den Rändern nicht unbedingt waagerechte Tangenten.

Und wie bereits erwähnt haben Sattelpunkte auch waagerechte Tangenten, sind aber eben keine Hoch- oder Tiefpunkte. Deswegen prüft man rechnerisch z.B. mit dem Vorzeichenwechselkriterium, welche Art an den Extremstellen vorliegt.