Bestätigung einer Gleichung

Question

Wer die dritten Potenzen zu den Basen von 1 bis 9 kennt und weiß, dass eine dritte Wurzel einer maximal sechsstelligen Zahl eine natürliche Zahl ist, kann diese erraten. Beispiel: Um ∛54872 zu erraten wird anhand der Einerziffer 2 erkannt, dass die Einerziffer der dritten Wurzel 8 sein muss. Nach Abtrennen der letzten drei Ziffern wird wegen 27<54<64 erkannt, dass die Zehnerziffer 3 sein muss. ∛54872=38.
Bestätige ohne digitales Werkzeug:

\( \sqrt{\sqrt[3]{216}-\frac{215}{56}} \) = \( \frac{1}{\sqrt{56}} \)·(\( \sqrt[3]{5832} \)-\( \sqrt[3]{216} \)-1)

Answer 1

$$\sqrt{\sqrt[3\:]{216}-\dfrac{215}{56}}  = \dfrac{1}{\sqrt{56}} \cdot \left( \sqrt[3\:]{5832} - \sqrt[3\:]{216} -1 \right)$$

Okay, nach dem im Start Gesagten ist \(\sqrt[3\:]{216}=6\) und \(\sqrt[3\:]{5832}=18\),
was sich leicht durch Potenzieren bestätigen lässt. So ist etwa \({18^3=\left(20-2\right)^3=8000-2400+240-8 = 5832}\). Damit haben wir:

$$\sqrt{6-\dfrac{215}{56}}  = \dfrac{1}{\sqrt{56}} \cdot \left( 18 - 6 -1 \right)$$ und weiter

$$\sqrt{6-\dfrac{215}{56}}  = \dfrac{11}{\sqrt{56}}$$ Ausquadrieren beseitigt die noch verbleibenen Quadratwurzeln und schließlich ergibt

$$6-\dfrac{215}{56}  = \dfrac{121}{56}\quad\vert\quad + \dfrac{215}{56}$$ $$6=6$$

Comments

Ausquadrieren beseitigt die noch verbleibenen Quadratwurzeln und schließlich ergibt

Eleganter wäre hier

\(6-\frac{215}{56}=\frac{121}{56}\)

zu berechnen...