Quadratische Funktionsgleichung bestimmen, umformen. Parabel verläuft durch P(-2/7) und hat Scheitelpunkt S(2/-1).

Question

Hallo

Ich habe hier zwei Aufgaben mit denen ich nicht klar komme:

a)Eine Parabel verläuft durch den Punkt P(-2/7) und hat den Scheitelpunkt S(2/-1). Bestimme die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform

b)Forme die Funktionsgleichung y=0,5 (x-2)²-1 in die allgemeine Form um

 

Vielen Dank schonmal :)

Answer 1

a) Scheitelpunktform hat allgemein folgendes Aussehen:

 

y = a*(x + b)² + c, Scheitelpunkt(-b,c)

Wenn man den Scheitelpunkt kennt, sind sofort die Koeffizienten b und c; für S(2, -1) folgt

 y= a*(x - 2)² -1

Nun gilt es noch den Koeffizienten b zu bestimmen. Glücklicherweise haben wir einen Punkt mit P(-2,7) gegeben, dessen Koordinaten wir nun nutzen:

y = 7 = a*(-2-2)²-1 = a*16 -1  -> a= 0,5

Lösung: y = 0,5*(x  - 2)² -1

b) Allgemeine Form bedeutet y = a*x² + b*x + c

y = 0,5*(x  - 2)² -1 (einfach die Klammer auflösen über die 2. binomische Formel)

y = 0,5*(x² - 4x +4) -1

y = 0,5x² - 2*x + 2 -1

Lösung: y = 0,5x² - 2x +1

Comments

wie kommst du auf 0,5 wenn du a mal 16-1 nimmst

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Hi,

ich antworte mal für Bepprich.


Es steht da:

7 = a*16-1  |+1

8 = 16a       |:16

a = 1/2


Einverstanden?

Grüße

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ich verstehe diesen Schritt nicht, nachdem man die Klammer aufgelöst hat.:

y = 0,5*(x2 - 4x +4) -1

y = 0,5x2 - 2*x + 2 -1


Wieso steht anstatt 4x nun  2x und anstatt 4 nun 2?

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Oo Das ist ganz normales ausmultiplizeren. Du hast doch den Faktor 0,5 vor der Klammer...

Answer 2

a)Eine Parabel verläuft durch den Punkt P(-2/7) und hat den Scheitelpunkt S(2/-1). Bestimme die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform

 

Ansatz in Scheitelpunktform: y = a(x-2)² - 1.

a bestimmen: P einsetzen

7 = a (-4)² -1     |+1

8 = 16 a.

1/2 = a

Resultat in Scheitelpunktform

y = 0.5 (x-2)² - 1

b)Forme die Funktionsgleichung y=0,5 (x-2)²-1 in die allgemeine Form um

y=0,5 (x-2)²-1                   |Binom

y = 0.5 ( x² - 4x +4) - 1

y = 0.5 x² - 2x +2 -1

y= 0.5 x² - 2x + 1

Probe: Graph geht durch P und hat S als Scheitelpunkt:

 

 

Answer 3

a)Eine Parabel verläuft durch den Punkt P(-2/7) und hat den Scheitelpunkt S(2/-1). Bestimme die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform

Der Öffnungsfaktor lässt sich direkt aus dem Scheitelpunkt S(Sx | Sy) und einem weiteren Punkt P(Px| Py) bestimmen mit:

a = (Py - Sy) / (Px - Sx)^2 = (7 - (-1)) / (-2 - 2)^2 = 8 / 16 = 1/2

Jetzt kann man die Scheitelpunkt-Form aufstellen

f(x) = a(x - Sx)^2 + Sy = 1/2 * (x - 2)^2 - 1

 

b) Forme die Funktionsgleichung y = 0,5 (x - 2)^2 - 1 in die allgemeine Form um

Hier lösen wir die Klammer durch ausmultiplizieren aus. Binomische Formeln sind hilfreich.

y = 0,5 (x - 2)^2 - 1 = 0,5 * (x^2 - 4x + 4) - 1 = 0,5x^2 - 2x + 1