Funktion ableiten und vereinfachen: f(x) = (3x-6)/(4x^2-20x+25)

Question

ich habe eine Frage zur vereinfachten Darstellung von Funktionen/ Termumformung.

Ich soll die ersten drei Ableitungen dieser Funktionen bilden: 

f(x) = (3x - 6) / (4x² - 20 x + 25) 

Wenn man die Quotientenregel richtig anwendet kommt dann folgendes Ergebnis für die erste Ableitung heraus:

f ' (x) = (-12x + 48 - 45) / (4x² - 20x + 25)²

Wendet man nun wieder die Quotientenregel für die zweite Ableitung an, kommt schon eine ewig langer Term heraus und wenn ich dann auch noch die 3.Ableitung mit dieser Zahlenschlange bilden soll ..., deshalb meine Frage, wie kann ich sehen, dass z.B. f ' (x) auch (-6x + 9) / (2x-5)³ ist? Die 2.Ableitung wäre dann auch wesentlich kürzer.

Gibt es da irgendwie einen Trick oder kann man das nur durch Erfahrung sehen? 

 

Vielen Dank für die Antwort

Answer 1

f(x) = (3·x - 6)/(4·x^2 - 20·x + 25)

Man sieht im Nenner direkt eine binomische Formel.
Bei Brüchen ist ein Faktorisieren immer Sinnvoll, weil man so eventuell auch sehen kann ob man kürzen kann.

f(x) = (3·x - 6)/(4·x^2 - 20·x + 25) = (3·x - 6) / (2·x - 5)^2

f'(x) = (9 - 6·x)/(2·x - 5)^3

f''(x) = (24·x - 24)/(2·x - 5)^4

f'''(x) = (72 - 144·x)/(2·x - 5)^5

Comments

Danke für die Antwort :)

Würde ich die binomische Formel in f(x) nicht erkennen, hätte ich also quasi keine Chance bei f'(x) zu vereinfachen, weil man es nur durch sehen erkennen kann?

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Du kannst auch den Nenner durch Nullstellensuche Faktorisieren.

4·x^2 - 20·x + 25 = 4·(x^2 - 5·x + 6.25) = 0

Anwendung der pq-Formel ergibt die Lösung x = 2.5 ans einzige Lösung. Daher

4·(x^2 - 5·x + 6.25) = 4·(x - 2.5)·(x - 2.5) = 4·(x - 2.5)^2

Du könntest also auch mit diesem Term rechnen.