Kurvendiskussion: f(x) = (16·x^2 - 25)/(4·x^2 - 9)

Question

Hallo ich komme bei dieser Kurvendiskussion folgender Funktion nicht weiter y= 16x^2-25 gebrochen durch 4x^2-9 Ich habe mir die Extremwerte ausrechnen wollen mit der Quotientenregel und kam dabei auf -288x+200x=-88x was dann zu x=0 führt. Ich brauche doch eine 2 Ableitung um weiterzumachen. Wie soll ich weitermachen?

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aus Duplikat:

Ich hänge hier ein wenig.
Die erste Ableitung von y=16x²-25 / 4x²-9
Ich habe es dann so aufgeschrieben
(32x)*(4x²-9)-(16x²-25)*8x /(4x²-9)²
Kann ich jetzt die 4x²-9 vom Zähler mit denen vom Nenner kürzen?

Comments

Du brauchst nicht unbedingt die zweite Ableitung. Du kannst auch auf Vorzeichenwechsel bei f'(0) überprüfen. Aber ansonsten kannst du die zweite Ableitung bilden. Was hält dich davon ab?

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Aber wie sollte ich das in diesem Fall tun? Es kam doch 0 heraus. :-/

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Ah, bin schon von selbst daraufgekommen!!!!! Ich habe mich vertan es muss zuerst -88x / 16x^4-72X+81 herauskommen dann klappt es mit der 2 Ableitung!!!!!

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Du sollst bei den Ableitungen die 0 gar nicht beachten.

Hast du z.B. die Funktion f(x) = x^3 + 3x^2 + 2, dann bildest du die Ableitungen

f'(x) = 3x^2 + 6x

f''(x) = 6x + 6

f''(x) = 6

(brauchst aber nicht alle bilden, je nach Schwierigkeit der Funktion)

Jetzt suchst du die Nullstellen von f'(x) und überprüfst dann für deine gefundenen Nullstellen, ob f'' von deinen Nullstellen größer 0 ( lok. Minimum ) oder kleiner 0 ( lok. Maximum ) ist.

In deinem Fall müsstest du also jetzt f''(0) überprüfen.

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x ist nur in geraden Potenzen vorhanden. Die Frage zur Symmetrie hatte ich dir bereits beantwortet. Bitte lies auch die Antworten zu deinen Aufgaben bevor du sie erneut stellst.

Answer 1

Hi Bertel,

 

nein da lässt sich nichts kkürzen. Man kann aber noch gut vereinfachen.

Nur den Zähler betrachtet:

(32x)*(4x²-9)-(16x²-25)*8x = 128x^3 - 288x -128x^3 + 200x = -88x

 

Also können wir das obige insgesamt zu

f'(x) = -88x/(4x^2-9)^2

vereinfachen.

 

Anmerkung: Bitte unbedingt Klammern setzen, was Du gemeint hattest war wohl unter anderem:

f(x) = (16x^2-25)/(4x^2-9)

 

Grüße

Answer 2

Funktion und Ableitungen

f(x) = (16·x^2 - 25)/(4·x^2 - 9) = (4·x + 5)·(4·x - 5)/((2·x + 3)·(2·x - 3))
f'(x) = - 88·x/(4·x^2 - 9)^2
f''(x) = 264·(4·x^2 + 3)/(4·x^2 - 9)^3

Symmetrie

Symmetrie zur Y-Achse bedingt durch die geraden Potenzen von x.

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = 25/9

Nullstellen f(x) = 0

(4·x + 5)·(4·x - 5) = 0
x = ± 1.25

Polstellen Nenner = 0

(2·x + 3)·(2·x - 3) = 0
x = ± 1.5

Asymptote (Polynomdivision)

f(x) = (16·x^2 - 25)/(4·x^2 - 9) = 4 + 11/(4·x^2 - 9)
y = 4

Grenzwerte

lim (x → -∞) f(x) = 4+
lim (x → -1.5-) f(x) = ∞
lim (x → -1.5+) f(x) = - ∞
lim (x → 1.5-) f(x) = - ∞
lim (x → 1.5+) f(x) = ∞
lim (x → ∞) f(x) = 4+

Extrempunkte f'(x) = 0

- 88·x = 0
x = 0

f(0) = 25/9 → Hochpunkt

Wendepunkte f''(x) = 0

264·(4·x^2 + 3) = 0
Keine Lösungen

Comments

Super, jetzt habe ich einen besseren Überblick. Bei der 1 Ableitung checke ich aber nicht, wie ich (4x^2-9)^2 kürzen kann damit ich im Nenner auf (4x^2-9)^3 komme. Wenn auf beiden Seiten des Zählers und dann auch im Nenner das Selbe steht kann man kürzen, oder?

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Genau. Eigentlich kannst du immer eine Klammer wegkurzen solange du am Anfang im Nenner ein Quadrat hattest.

Answer 3

Ich schreibs mal sauber auf, weil deine Klammerstruktur nicht ganz korrekt ist:

$$f(x)=\frac { { 16 }x^{ 2 }-25 }{ 4{ x }^{ 2 }-9 }$$$$\Rightarrow$$$$ f'(x)=\frac { 32x*(4x^{ 2 }-9)-{ (16 }x^{ 2 }-25)*8x }{ (4{ x }^{ 2 }-9)^{ 2 } }$$

Da ( 4 x ² + 9 ) nicht in beiden Summanden des Zählers auftritt, kannst du hier nicht mit ( 4 x ² + 9 ) kürzen. Statt dessen kannst du aber den Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen und erhältst:

$$=\frac { 128{ x }^{ 3 }-288x-128{ x }^{ 3 }+200x }{ (4{ x }^{ 2 }-9)^{ 2 } }$$$$=\frac { -88x }{ (4{ x }^{ 2 }-9)^{ 2 } }$$

Comments

Prima, jetzt würde mich interessieren, ob ich die 2 Ableitung richtig gemacht habe. Also ich habe geschrieben Y"= -88*(4x^2-9)^2-(-88x)*2*(x^2-9) / [(4x^2-9)^2]^2

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Nicht ganz, du hast

v ' = [ ( 4 x ² - 9 ) ² ] '

nicht richtig berechnet.

Es ist (innere Ableitung * äußere Ableitung):

[ ( 4 x ² - 9 ) ² ] ' = 8 x * 2 * (4 x ² - 9 ) = 16 x * (4 x ² - 9 )

und somit:

Y ' '  = [ - 88 * ( 4 x ² - 9 ) ² - ( - 88 x ) * 16 x * (4 x ² - 9 ) ] / [ ( 4 x ²- 9 ) ² ] ²

Und hier kann man nun einmal mit ( 4 x ²- 9 ) kürzen, da dieser Faktor in jedem Summanden des Zählers auftritt:

= [ - 88 * ( 4 x ² - 9 ) - ( - 88 x ) * 16 x ] / [ ( 4 x ²- 9 ) ] ³

Ein bisschen zusammenfassen kann man auch noch ...