waagerechte Tangente gesucht

Question

Sei f: R-->R definiert durch f(x)= exp (x³ - 2x² - 3x).

Für welche x aus R besitzt der Graph von f in (x, f(x)) eine waagerechte Tangente?

Answer 1

f ( x ) = exp ( x ³ - 2 x ² - 3 x )

Eine waagerechte Tangente liegt dort vor, wo die Ableitung von f ( x ) den Wert 0 hat, also:

f ' ( x ) = ( 3 x ² - 4 x - 3 ) * exp ( x ³ - 2 x ² - 3 x ) = 0

Da die Funktion exp ( x ) für kein x den Wert 0 annimmt, kann diese Gleichung nur erfüllt sein, wen gilt:

<=> ( 3 x ² - 4 x - 3 ) = 0

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung kann man z.B. mit der Mitternachtsformel bestimmen. Es ergibt sich:

x_1,2 = ( 1 / 3 ) * ( 2  ± √ 13 )

<=>

x₁ ≈ 1,869
x₂ ≈ - 0,535

Hier der Graph von f ( x ):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=exp+%28+x^3+-+2+x^2+-+3+x+%29from+-1+to3

Comments

Was ist denn die Mitternachtsformel?

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Dasselbe wie die abc-Formel hier: https://www.matheretter.de/rechner/quadratische-gleichung

Answer 2

f ( x ) = e^{x³ -2x²-3x}
Allgemein: [ e^Term ] ´ = e^Term * Term ´
f ´ ( x ) = e^{x³ -2x²-3x} * ( 3*x^2 - 4*x - 3 )
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
Die e-Funktion wird nie 0, also
3*x^2 - 4*x - 3  = 0  | mit quadratischer Ergänzung oder pq-Formel lösen

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

Bin gern weiter behilflich.

mfg Georg