Zeigen Sie, dass die Taylorsche Formel fur die allgemeine Exponentialfunktion...

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Taylorsche Formel für die allgemeine Exponentialfunktion \( f(x)=d \cdot e^{b \cdot x}, b, d \in \mathbb{R} \) in jedem beliebigen Entwicklungspunkt \( a \in \mathbb{R} \) gegen die korrekte Exponentialfunktion konvergiert.

Answer 1

Wo kommst du denn nicht weiter? Bestimme die Taylorreihe von f und zeige dann, dass diese den Konvergenzradius \(\infty\) hat.

Answer 2

Wir haben das Thema auch gerade. Komme bis zu einem Punkt nicht weiter. Also ich habe bestimmt:

$$f^{(n)} ( a ) = d \cdot b^n \cdot e^{ b\cdot a }$$

Die Taylorreihe ist also $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{ d\cdot b^n \cdot e^{ b \cdot a } } { n! } ( x - a )^n$$

Und das soll gleich \( d \cdot e^{ b \cdot x } \) sein. Ist es laut Wolfram-Alpha auch https://www.wolframalpha.com/input/?i=series+from+n+%3D+0+to+infinity+of+%28+%28+d*b^n+*+e^%28b*a%29+%29%2F+n!+%29+*+%28x-a%29^n, aber wie soll man das zeigen?

Allein über den Konvergenzradius zeigt man doch nicht, dass die Reihe gegen de^{bx} konvergiert, sondern nur, für welche a sie konvergiert, oder?