Beweisen Sie für beliebige reelle Zahlen x1, ... , xn > -1, die alle dasselbe Vorzeichen haben, die Ungleichung

Question

Beweisen Sie für beliebige reelle Zahlen \( x_{1}, \ldots, x_{n}>-1 \), die alle dasselbe Vorzeichen haben, die Ungleichung:

\( \left(1+x_{1}\right)\left(1+x_{2}\right) \ldots\left(1+x_{n}\right) \geq 1+x_{1}+\ldots+x_{n} \)

Ist die Voraussetzung über die Vorzeichen notwendig?

Mein Ansatz war zunächst einmal das ganze in einProdukt und Summenzeichen umzuwandeln. Dabei tauchen aber mehrere Schwierigkeiten auf, u.a. während dem induktionsschritt.

Probleme:

der Zahlenbereich wird in 2 Fälle unterschieden, korrekt? einmal -1<n<0 und n>0  (der Vorzeichen halber)

1. Fall

beliebige reelle zahlen € (-1;0)

Wie bilde ich das Summen- und das Produktzeichen? Geht über den Zeichen n<0 und darunter i>-1? Mit welchem n mache ich den induktionsanfang? und wie soll ich beim Induktionsschritt mit n+1 rechnen, wenn der Zahlenbereich mit dem gedacht wird nur (-1;0) beträgt?

2. Fall

beliebige reelle Zahlen >0

Scheint etwas machbarer, da man dort wohl einfach mit ganzen Zahlen hantieren und beweisen kann - daher geht es mir hier hauptsächlich um den 1. Fall.

Answer 1

Hi,

Erst mal kann man das, was bewiesen werden soll, kompakter schreiben als $$ (1) \quad \prod_{k=1}^n(1+x_k)\ge1+\sum_{k=1}^nx_k $$ Der Induktionsanfang startet mit n=1 $$ \text{(1) ergibt dann } 1+x_1\ge1+x_1 $$ was offensichtlich richtig ist. Nun kommt der Induktionsschluss. Dazu muss bewiesen werden das gilt $$ (2) \quad \prod_{k=1}^{n+1}(1+x_k)\ge 1+\sum_{k=1}^{n+1}x_k $$ unter der Voraussetzung das gilt $$ \prod_{k=1}^{n}(1+x_k)\ge 1+\sum_{k=1}^{n}x_k $$ (2) kann geschrieben werden als $$ \prod_{k=1}^{n+1}(1+x_k)=\prod_{k=1}^{n}(1+x_k)(1+x_{n+1})\ge (1+\sum_{k=1}^{n}x_k)(1+x_{n+1})=$$ $$1+\sum_{k=1}^{n+1}x_{n+1}+x_{n+1}\sum_{k=1}^{n}x_{k} $$ Jetzt muss bewiesen werden, dass der letzte Term größer 0 ist. Dies ist dann der Fall wenn jeder Faktor des Produkts > 0 ist oder < 0 ist. Das sind aber gerade die gemachten Voraussetzungen an die x_k.

Die gemachten Voraussetzungen an die x_k sind notwendig wie man am folgenden Gegenbeispiel sieht. $$ \text {Wenn } n=2 \quad ,\quad x_1=1 \quad und \quad x_2=-1 \quad \text {ist, müsste gelten} \quad 0 \ge 1 $$ $$ \text {was offensichtlich falsch ist} $$

Comments

danke für die Antwort!

Ich verstehe nocht nicht ganz, wie du das ganze abschließt - ich kann die Umstellungen nachvollziehen, aber mit meinen Fähigkeiten nicht sehen wie ich zeige, dass beides entweder gleich, geschweige denn die linke Seite größer ist.

Was genau bezeichnet man hier als den letzten Term? Die beiden letzten zeilen? (...=...>=...=... ?)

 

Und wie machst du so einfach Aussagen über die Faktoren der Produkte? Das einzige was ich da bisher abschätzen könnte, wäre vielleicht dass Produkte der Produktzeichen wahrscheinlich entweder positiv bei n_gerade oder negativ bei n_ungerade sein könnten. Und diese Erkenntnis scheint mir irgendwie nicht bei der Aufgabenstellung zu helfen.

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Hi,

Ich geh mal davon aus das der Induktionsanfang und die Induktionsvoraussetzung klar sind und fange mal an, den Induktionsschluss näher zu erklären.

$$ \text {Das Produkt } \prod_{k=1}^{n+1}(1+x_k)\text{habe ich aufgelöst in } \prod_{k=1}^{n}(1+x_k)(1+x_{n+1}) $$ ich hoffe das ist auch noch klar. Dann habe ich auf den Term $$ \prod_{k=1}^{n}(1+x_k) \text { die Induktionsvoraussetzung angewendet und bekomme }$$ $$ \prod_{k=1}^{n}(1+x_k)\ge1+\sum_{k=1}^nx_k $$ Das ergibt zusammen $$ \prod_{k=1}^{n+1}(1+x_k)\ge(1+\sum_{k=1}^nx_k)(1+x_{n+1}) $$ Die rechte Seite jetzt ausmultiplizieren ergibt $$ 1+\sum_{k=1}^nx_k+x_{n+1}+x_{n+1}\sum_{k=1}^nx_k  $$ und das kann man vereinfachen zu $$ 1+\sum_{k=1}^{n+1}x_k+x_{n+1}\sum_{k=1}^nx_k $$ wenn man jetzt die Summe bis n+1 laufen lässt. Der letzte Term $$ x_{n+1}\sum_{k=1}^nx_k $$ ist dann größer Null wenn die beiden Faktoren $$ x_{n+1} \text { und } \sum_{k=1}^nx_k \text { gleiches Vorzeichen haben} $$ Das ist gegeben wenn gilt $$ x_k\ge0 \text { bzw. } -1\le x_k\le 0  $$ Ich hoffe das ist jetzt etwas verständlicher.

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nocheinmal vielen vielen Dank!

Habe das alles bis jetzt so verständen - was ich allerdings nicht verstehe ist wieso du dich nur auf den einen Teil des Terms beziehst bei der Stellungname zu den Vorzeichen.

Wie reagiert denn so ein Summenzeichen darauf wenn es von k=1 bis n geht und n nun negativ ist? Ich sehe noch nicht so ganz die Verknüpfung zu dem Umstand, dass der Zahlenbereich nicht einfach >1 ist, sondern bei -1 beginnt und dann Richtung positiv unendlich geht...

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Hi,

ich glaube Du verwechselts da was. Die x_k sind >-1, und zwar sind sie entweder alle in dem Bereich (-1,0) oder sie sind alle >0. Das hat aber nichts mit dem Index k der Folge x_k zu tun. Der läuft immer von 1 bis n bzw. bis n+1.

Wenn die angegebenen Bedienungen an die x_k erfüllt sind gilt im Fall

$$ x_k\in (-1,0)\text { für k=1,..,n+1 das } x_{n+1}<0 \text { ist }$$ $$\text { und da alle Summanden } x_k<0 \text { sind, auch das } \sum_{k=1}^nx_k<0 \text { ist } $$ $$ \text {und damit das Prokut } x_{n+1}\sum_{k=1}^nx_k>0 \text { ist } $$ $$ \text {Wenn } x_k>0 \text { ist, gilt ebenfalls, dass das Produkt } x_{n+1}\sum_{k=1}^nx_k>0 \text { ist } $$ Deshalb ist $$ 1+\sum_{k=1}^{n+1}x_k+x_{n+1}\sum_{k=1}^nx_k>1+\sum_{k=1}^{n+1}x_k $$ was zu beweisen war.

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Danke, habe alles soweit verstanden. Mir ist nur beim "schönabschreiben" aufgefallen, dass da glaube ich ein fehler am anfang des IS ist.

aus 1+ Summe(n+1 oben, k=1 unten) sollte 1+ Summe(n oben, k=1 unten)+x_n+1 herauskommen, oder?

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Hi,

in meinem zweiten Post habe ich den Term $$ 1+\sum_{k=1}^nx_k+x_{k+1} \text { zu } 1+\sum_{k=1}^{n+1}x_k $$zusammengefasst. Da seh ich keinen Fehler.