Matrixgleichung auflösen: Für welche i, lässt sich die Matrix X bestimmen?

Question

Gegeben sind die Matrizen

$$ A = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) , B _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , B _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) , B _ { 3 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) $$

Für welche i ∈ {1, 2, 3} lässt sich die Matrix X so bestimmen, dass X die Gleichung

$$ X \cdot A \cdot \left( X \cdot A ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 } = B _ { i } $$

erfüllt? Bestimmen Sie ggf. alle Matrizen X.

Answer 1

a) Du kannst hier den Satz über die Determinante eines Produkts nutzen:

det(AB) = det(A)*det(B)

Darum gilt auch det(A)=1/det(A^-1)

Damit die Gleichung überhaupt erfüllt sein kann, muss also gelten:

det (X*A*(X*A^-1)^-1) = det (B_i)

Die Determinanten der Matrizen B_i lassen sich leicht ausrechnen, es gilt:

det(B₁)=1
det(B₂)=0
det(B₃)=0

Für die linke Seite gilt nach der genannten Produktregel:

det(X*A*(X*A^-1)^-1)= det(X)*det(A)*det((X*A^-1)^-1) = det(X)*det(A)/(det(X)*det(A^-1)) = det(A)/det(A^-1) = det(A)²

Berechnet man nun noch die Determinante

det(A) = -1,

dann erkennt man, dass nur B₁ herauskommen kann.

 

Jetzt können wir uns ans rechnen machen:

Erstmal nutze ich aus, dass (AB)^-1=B^-1A^-1 gilt, also

X*A*(X*A^-1)^-1 = X*A*A*X^-1

A*A kann man leicht ausrechnen, das ergibt die Einheitsmatrix. 

Nun steht da also noch

X*E*X^-1 = X*X^-1

Und herauskommen soll die Einheitsmatrix ⇒ alle invertierbaren Matrizen X, also alle 3x3-Matrizen mit det(X)≠0 erfüllen die Gleichung.