Beschränkt, stetig, Lipschitz-stetig

Question

Die Funktion \( f: U \rightarrow \mathbb{R}, U \subseteq \mathbb{R} \) sei differenzierbar.

Beweisen Sie: Ist \( f^{\prime}: U \rightarrow \mathbb{R} \) beschränkt, so ist \( f \) auf \( U \) Lipschitz-stetig.

Folgern Sie weiter die gleichmäßige Stetigkeit von \( f \) auf \( U \).

Answer 1

Hi,
f'(x) beschränkt auf U bedeutet, es gibt eine Konstante M mit \( |f(x)|\le M \) Daraus folgt \( -M(x-y) \le f(x)-f(y) \le M(x-y)  \)  und daraus \( |f(x)-f(y)| \le M  \)

Also ist f Lipschitz stetig auf U mit einer Lipschitz Konstanten M.

Die gleichmäßige Stetigkeit folgt folgendermaßen:

Sei \( \epsilon \lt 0 \) und \( \delta=\frac{\epsilon}{M}  \) dann gilt für alle \( |x-y| \lt \delta  \) das gilt  \( |f(x)-f(y)|\le M|x-y|\lt M\delta= \epsilon\) Damit ist f gleichmäßig stetig.