Kurvendiskussion Aufgabe nur zu Sattelpunkt und Krümmungsverhalten. Stimmt meine Rechnung?

Question

f(x)= x⁵-5x⁴+5x³+1 

f'(x)= 5x⁴-20x³+15x²

f''(x)= 20x³-60x²+30x 

f'''(x)= 60x²-120x+30 

 

Ich rechne mal nur Sattelpunkt 

Notwendig: 

f'(x)=0 

f''(x)= 0 

Hinreichend: 

f'''(x) ≠ 0 

 

und hier?? kann mir das jemand vorrechnen? Damit ich mal weiß, wie man den Sattelpunkt berechnet? Und wenn es noch geht die Links- bzw. die Rechtskrümmung :) 

Answer 1

Hi Emre,

 

Sattelpunkt:

Du hast ja die Bedingungen schon aufgeschrieben:

f'(x) = 5x^4-20x^3+15x^2 = 5x^2(x^2-4x+3) = 0

pq-Formel für den Klammerinhalt:

x_1,2 = 0 und x₃ = 1 und x₄ = 3

 

Damit in die zweite Ableitung.

Nur f''(0) = 0

Damit in f'''(x).

f'''(0) ≠ 0

 

Hier also liegt ein Sattelpunkt vor. In f(x) eingesetzt -> S(0|1).

 

Krümmung:

Linkskrümmung: f''(x) > 0

Rechtskrümmung: f''(x) < 0

 

Also

f''(x) = 20x^3-60x^2+30x = 20x(x^2-3x+1,5)

pq-Formel für den letzten Teil

x₅ = 0, x₆ = 0,63 und x₇ = 2,37

 

Das sind die drei Nullstellen der zweiten Ableitung und an diesen kann sich das Vorzeichen ändern.

Mit Punktprobe kannst Du nun feststellen in welchen Intervallen f''(x) > oder < 0 ist.

 

f''(x) < 0 für x ∈ (-∞;0) und (0,63;2,37) -> Rechtskrümmung

 

Beim Rest ist f''(x) > 0 und damit linksgekrümmt.

Grüße

Comments

Hallo Unknown :) 

wow das sieht schon komplizierter aus :) 

Ich dachte eigentlich, dass ich eine Polynomdivision machen muss, weil ja der Exponent so hoch ist... deshalb hab Ich doch nicht gerechnet :) 

Ich weiß halt nie, wie ich die Nullstellen bei Funktionen, die einen hochen Exponent haben, berechnen soll..also zum Beispiel hier bei hoch 5 oder hoch 4 oder hoch 3 ?? 

und das geht ja bis x₈?? Oo

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Nun, wenn Du ausklammern kannst, solltest Du das natürlich tun. Polynomdivision ist schön und gut, kann aber auch recht aufwendig sein. Das macht man natürlich dann nicht zum Spaß :P.

Hier kann man (wie Du siehst) oft recht gut ausklammern ;).

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ahso:) 

haha Polynomdivision..macht mit Angst hahh 

ja stimmt..als ich gerade nochmal drüber geguckt habe, kann man wirklich gut ausklammern ^^. 

ehm und es gibt doch so einen satz: 

"ein faktor ist dann null wenn es mindestens ...ka"

also ist schonmal x₁=0 und die anderen also das was in der klammer steht durch die pq formel berechnen?? 

aber woher kommen dann die x₈?? 

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Welches x₈? Und Von was rechnest Du gerade die Nullstellen aus?

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ah sorry ich  meinte bis x₇??

und ich rechne gerade nichts ..ich lies mir deine Antwort durch:)

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ok^^. Passt

 

Das x_5,6,7 sind ja keine Nullstellen der ersten Ableitung (das ist x_1-4) sondern Nullstellen der zweiten Ableitung. Hab sie halt fortlaufend nummeriert ;).

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ahsoo hahahaha
Dankeeee :)
Unknown drück mir bitte bitte bitte am 23 die Daumen :( da habe ich meine Mathe abschlussprüfung :)

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Werd ich machen! ;)