Taylorreihe exp(-1/x^2)?

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für die Funktion

\( f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, x \longmapsto\left\{\begin{array}{ll} \exp \left(-\frac{1}{x^{2}}\right), & x \neq 0, \\ 0, & x=0, \end{array}\right. \)

folgende Aussagen gelten:

(a) Für alle \( n \geq 1 \) gibt es ein Polynom \( p_{n} \in \mathbb{R}[x] \), so dass für \( x \neq 0 \)

\( f^{(n)}(x)=\frac{p_{n}(x)}{x^{3 \cdot 2^{n-1}}} \cdot \exp \left(-\frac{1}{x^{2}}\right) \)

gilt.

(b) Für alle \( k \in \mathbb{N} \) gilt \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\exp \left(-\frac{1}{x^{2}}\right)}{x^{k}}=0 \).

(c) \( f \) ist unendlich oft differenzierbar in \( x=0 \) mit \( f^{(n)}(0)=0 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).

(d) Für die Taylorreihe um den Entwicklungspunkt 0 gilt \( T_{f, 0}=0 \).

Comments

Ich würde (a) mit der vollständigen Induktion beweisen. Ich habe das hier eben auf einem Schmierzettel gemacht. Das ist zwar etwas Schreibarbeit aber durchaus machbar. Leider ist die Form in der ich das notiert habe absolut nicht tauglich hier veröffentlicht zu werden.

Aber eigentlich sollte die vollständige Induktion auch ein Begriff sein und das solltest du hinbekommen. Wenn du dabei noch Probleme hast dann frag einfach nochmal nach. Und schreib dann was du schon hast.

Answer 1

Hi,
zu Aufgabe (a). Wenn \( p_n(x) \) ein Polynom n-ten Grades sein soll, stimmt die Aussage nicht. Es gilt dann eher \( f^{(n)}(x)=\frac{p_{2n-2}(x)}{x^{3n} }e^{-\frac{1}x^2} \). Also z.B. bei der 3-ten Ableitung kommt heraus \( \frac {4(6x^4-9x^2+2)}{x^9}e^{-\frac{1}x^2} \) D.h. im Zähler steht kein Polynom n-ten (3-ten) Grades sondern ein Polynom (2n-2)-ten (4-ten) Grades und im Nenner steht kein Polynom \( 3*2^{n-1}  \)-ten Grades ( 12-ten Grades) sondern ein Polynom 3n-ten Grades (9-ten) Grades. Oder habe ich da was falsch verstanden?