Aloha :)
Ich würde die Funktion erstmal etwas handlicher umschreiben:$$f(x)=\sin^2(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(1-2\sin^2(x)\right)$$$$=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(\sin^2(x)+\cos^2(x)-2\sin^2(x)\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(\cos^2(x)-\sin^2(x)\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)$$
Damit kannst du die Ableitungen schnell hinschreiben:$$f^{(0)}(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)\quad\Rightarrow\quad f^{(0)}(0)=0$$$$f^{(1)}(x)=\sin(2x)\quad\Rightarrow\quad f^{(1)}(0)=0$$$$f^{(2)}(x)=2\cos(2x)\quad\Rightarrow\quad f^{(2)}(0)=2$$$$f^{(3)}(x)=-4\sin(2x)\quad\Rightarrow\quad f^{(3)}(0)=0$$$$f^{(4)}(x)=-8\cos(2x)\quad\Rightarrow\quad f^{(4)}(0)=-8$$$$f^{(5)}(x)=16\sin(2x)\quad\Rightarrow\quad f^{(5)}(0)=0$$Man erkennt, wie das funktioniert:$$f^{(n)}(0)=\left\{\begin{array}{l}0 & \text{falls} & n \text{ ungerade oder }n=0\\-(-1)^{n/2}2^{n-1} & \text{falls} & n \text{ gerade und }n\ne0\end{array}\right.$$Die Taylor-Reihe enthält also nur \(x\) mit geraden Exponenten größer als \(0\):$$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{f^{(2k)}(0)}{(2k)!}\,x^{2k}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{-(-1)^k\,2^{2k-1}}{(2k)!}\,x^{2k}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}\,2^{2k-1}}{(2k)!}\,x^{2k}$$Die ersten Terme lauten:$$f(x)\approx x^2-\frac{1}{3}x^4+\frac{2}{45}x^6-\frac{1}{315}x^8+O(x^{10})$$Um weiter (b) mit (c) vergleichen zu können, bräuchte ich (b).
