Beim Football wirft der Quarterback aus einer Höhe von 1,7m den Ball unter einem Winkel von 45° ab.

Question

Der Ball wird in 27m Entfernung vom Fänger in einer Höhe von 2m gefangen. a) Beschreibe die Flugbahn des Balls als Graph einer quadratischen Funktion. b) Berechne die Koeffizienten dieser quadratischen Funktion und ihre Scheitelform. c) In welcher Entfernung vom Quarterback ist der Ball am höchsten in der Luft? Ich weiß nicht wie ich diese Fragestellung lösen kann,

Answer 1

a)

Der Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel, deren y-Achsenabschnitt 1,7 ist (ob das genügt?)

b)

Für die Parabel muss gelten:

f ( 0 ) = 1,7

f ' ( 0 ) = tan ( 45 ° ) = 1

f ( 27 ) = 2

Setzt man für f ( x ) die allgemeine Form einer Parabelgleichung an, also

f ( x ) = a x ² + b x + c

so erhält man daraus:

a * 0 ² + b * 0 + c = 1,7 <=> c = 1,7

2 a * 0 + b = 1 <=> b = 1

sowie

a * 27 ² + 1 * 27 + 1,7 = 2

<=> 729 a + 28,7 = 2

<=> a = - 26,7 / 729

Somit lautet die Gleichung der Parabel:

f ( x ) = - 26,7 / 729 x ² + x + 1,7

 

c)

Umformung in die Scheitelpunktform f ( x ) = a ( x - xs ) ² + ys , aus der die Koordinaten des
Scheitelpunktes S ( xs | ys ) direkt abgelesen werden können:

f ( x ) = - 26,7 / 729 x ² + x + 1,7

Ausklammern des Koeffizienten des quadratischen Gliedes aus den ersten beiden Summanden:

= ( - 26,7 / 729 ) * ( x ² - ( 729 / 26,7 ) x  ) + 1,7

Quadratische Ergänzung addieren und gleich wieder subtrahieren::

= ( - 26,7 / 729 ) * ( x ² - ( 729 / 26,7 ) x  + ( 729 / 53,4 ) ² - ( 729 / 53,4 ) ² ) + 1,7

Die ersten drei Summanden der rot gesetzten Klammer mit Hilfe der zweiten binomischen Formel als Quadrat schreiben:

= ( - 26,7 / 729 ) * ( ( x - ( 729 / 53,4 ) ) ² - ( 729 / 53,4 ) ² ) + 1,7

Den Faktor ( - 26,7 / 729 ) wieder in die rot gesetzte Klammer hineinmultiplizieren:

= ( - 26,7 / 729 ) * ( x - ( 729 / 53,4) ) ² - ( - 26,7 / 729 ) * ( 729 / 53,4 ) ² + 1,7

Die beiden letzten Summanden zusammenfassen, dazu zunächst mit 729 und 26,7 kürzen:

= ( - 26,7 / 729 ) * ( x - ( 729 / 53,4) ) ² - ( - 1 ) * ( 729 / ( 4 * 26,7 ) ) + 1,7

= ( - 26,7 / 729 ) * ( x - ( 729 / 53,4) ) ² + ( 729 / 106,8 ) + ( 181,56 / 106,8 )

= ( - 26,7 / 729 ) * ( x - ( 729 / 53,4) ) ² + ( 910,56  / 106,8 )

 

Das ist nun die Scheitelpunktform, aus der die Koordinaten des Scheitelpunktes abgelesen werden können:

S ( 729 / 53,4 | 910,56  / 106,8 ) ≈ ( 13,65 | 8,53 )

Dies ist der höchte Punkt der Flugbahn. Er hat die x-Koordinate x = 13,65.
Da der Quarterback im Ursprung steht, hat die Abwurfstelle die x-Koordinate x = 0.
Somit liegt also der höchste Punkt der Flugbahn 13,65 m vom Quarterback entfernt. 

Answer 2

Ansatz

f(x) = a·x^2 + b·x + c
f'(x) = 2·a·x + b

Bedingungen

f(0) = 1.7
f'(0) = 1
f(27) = 2

Gleichungen

c = 1.7
b = 1
729·a + 27·b + c = 2
729·a + 27·1 + 1.7 = 2
a = - 89/2430

Funktion

f(x) = - 89/2430·x^2 + x + 1.7

 

Schaffst du den Rest jetzt allein?