1000 Kugeln werden zu einer einzigen Kugel zusammengeschmolzen

Question

1000 gleich große Bleikugeln mit dem durchmesser d werden zu einer einzigen Kugel zusammengeschmolzen.

a) Welchen Durchmesser hat diese neue Kugel?

b) Vergleiche ihre Oberfläche mit der Gesamtoberfläche der 1000 kleinen Kugeln.


Ich komme da echt nicht weiter und brauche Hilfe

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(4/3)*(x^/2)^3*pi= (4/3)*(d/2)^3*pi*1000


Löse nach x auf.

Answer 1

Eine der kleinen Kugeln mit dem Durchmesser d hat ein Volumen von

V_klein = ( 4 / 3 ) * π * ( d / 2 ) ³

1000 solcher Kugeln haben also ein Volumen von

V₁₀₀₀ = 1000 * V_klein = 1000 * ( 4 / 3 ) * π * ( d / 2 ) ³

Für eine Kugel mit dem Volumen V₁₀₀₀ gilt:

V₁₀₀₀ = ( 4 / 3 ) * π * ( d_groß / 2 ) ³

Für V₁₀₀₀ die oben genannte Formel einsetzen:

<=> 1000 * ( 4 / 3 ) * π * ( d / 2 ) ³ = ( 4 / 3 ) * π * ( d_groß / 2 ) ³

Beide Seiten durch ( 4 / 3 ) * π dividieren:

<=> 1000 * ( d / 2 ) ³ =  ( d_groß / 2 ) ³

Auf beiden Seiten die dritte Wurzel ziehen:

<=> 10 * d / 2  =  d_groß / 2

Beide Seiten mit 2 multiplizieren:

<=> 10 d = d_groß

Also: Die große Kugel hat den zehnfachen Durchmesser einer der kleinen Kugeln.

 

Der Oberflächeninhalt O einer Kugel mit dem Durchmesser d beträgt:

O = 4 * π * ( d / 2 ) ²

Das ist auch der Oberflächeninhalt einer der kleinen Kugeln. 1000 dieser kleinen Kugeln haben also das 1000-fache dieses Oberflächeninhaltes, also

O₁₀₀₀ = 1000 * 4 * π * ( d / 2 ) ²

Für den Oberflächeninhalt O _groß der großen Kugel, die ja den Durchmesser 10 d hat, gilt demzufolge:

O_groß = 4 * π * ( 10 d / 2 ) ²

 

Das Verhältnis O_groß / O₁₀₀₀ ist also:

O_groß / O₁₀₀₀ = 4 * π * ( 10 d / 2 ) ² / ( 1000 * 4 * π * ( d / 2 ) ² )

mit 4 * π kürzen:

=  ( 10 d / 2 ) ² / ( 1000 * ( d / 2 ) ² )

= ( 100 d ² / 4 ) / ( 1000 d ² / 4 )

mit d ² / 4 kürzen:

= 100 / 1000

= 1 / 10

Also: Der Oberflächeninhalt der großen Kugel beträgt ein Zehntel des Gesamtoberflächeninhaltes der 1000 kleinen Kugeln.